Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

Für einen kommutativen Ring ${}R$ ${{}} R$ sind folgende Aussagen äquivalent.
1. ${}R$ ist noethersch.
2. Jede aufsteigende Idealkette
  ${\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots$
  
  wird stationär, d.h. es gibt ein ${}n$ mit ${}{\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {a}}_{n+1}=\ldots$ .
Sei ${}R$ ein noetherscher Ring. Dann ist auch der Polynomring ${}R[X]$ noethersch.
Sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}F,G\in K[X,Y,Z]$ zwei homogene Polynome vom Grad ${}m$ und ${}n$ ohne gemeinsame Komponente mit zugehörigen Kurven ${}C=V_{+}(F),D=V_{+}(G)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ . Dann gilt
${}\sum _{P}\operatorname {mult} _{P}(C,D)=mn\,.$

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