Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

Sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}F\in K[X,Y]$ ein nicht-konstantes Polynom vom Grad ${}d$ , das die algebraische Kurve ${}C=V(F)$ definiert. Dann gibt es eine lineare Koordinatentransformation derart, dass in den neuen Koordinaten ${}{\tilde {X}},{\tilde {Y}}$ das transformierte Polynom die Form
${}{\tilde {F}}={\tilde {X}}^{d}+{\text{ Terme von kleinerem Grad in }}{\tilde {X}}\,$
besitzt.
Sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ beschrieben werde. Es sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom, das auf ${}V$ verschwindet. Dann gehört ${}F$ zum Radikal von ${}{\mathfrak {a}}$ , d.h. es gibt ein ${}r\in \mathbb {N}$ mit ${}F^{r}\in {\mathfrak {a}}$ .
Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein von teilerfremden Zahlen erzeugtes numerisches Monoid mit numerischer Multiplizität ${}e_{1}$ . Es sei ${}{\mathfrak {m}}=(M_{+})$ das maximale Ideal des Monoidringes ${}K[M]$ , das dem Nullpunkt entspricht. Dann gilt
${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\operatorname {dim} _{K}(K[M]/{\mathfrak {m}}^{n})}{n}}=e_{1}\,.$

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