Wir betrachten den affinen Raum ${\displaystyle {}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}}$. Wenn ${\displaystyle {}K}$ endlich ist, so besteht der Raum nur aus endlich vielen Punkten und nur die einpunktigen Teilmengen sind irreduzibel. Insbesondere ist der affine Raum außer bei ${\displaystyle {}n=0}$ nicht irreduzibel.

Bei unendlichem ${\displaystyle {}K}$ ist der affine Raum ${\displaystyle {}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}}$ hingegen irreduzibel. Sei nämlich ${\displaystyle {}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=Y\cup Z}$ mit echten affin-algebraischen Teilmengen. D.h. für die offenen Komplemente ${\displaystyle {}U={{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\setminus Y}$ und ${\displaystyle {}W={{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\setminus Z}$ ist einerseits ${\displaystyle {}U,W\neq \emptyset }$, aber ${\displaystyle {}U\cap W=\emptyset }$. Das widerspricht aber Aufgabe.