Sei ${\displaystyle {}\operatorname {Id} \,(V)}$ kein Primideal. Bei ${\displaystyle {}\operatorname {Id} \,(V)=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ist ${\displaystyle {}V=\emptyset }$, also ist ${\displaystyle {}V}$ nicht irreduzibel nach Definition. Andernfalls gibt es Polynome ${\displaystyle {}F,G\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ mit ${\displaystyle {}FG\in \operatorname {Id} \,(V)}$, aber ${\displaystyle {}F,G\not \in \operatorname {Id} \,(V)}$. Dies bedeutet, dass es Punkte ${\displaystyle {}P,Q\in V}$ mit ${\displaystyle {}F(P)\neq 0}$ und ${\displaystyle {}G(Q)\neq 0}$ gibt. Wir betrachten die beiden Ideale ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}_{1}=\operatorname {Id} \,(V)+(F)}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}_{2}=\operatorname {Id} \,(V)+(G)}$. Daher ist

${\displaystyle {}V({\mathfrak {a}}_{1}),V({\mathfrak {a}}_{2})\subseteq V(\operatorname {Id} \,(V))=V\,}$

nach Fakt  (3). Wegen ${\displaystyle {}P\not \in V({\mathfrak {a}}_{1})}$ und ${\displaystyle {}Q\not \in V({\mathfrak {a}}_{2})}$ sind diese Inklusionen echt. Andererseits ist

${\displaystyle {}V({\mathfrak {a}}_{1})\cup V({\mathfrak {a}}_{2})=V({\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2})=V(\operatorname {Id} \,(V))=V\,,}$

so dass eine nicht-triviale Zerlegung von ${\displaystyle {}V}$ vorliegt und somit ${\displaystyle {}V}$ nicht irreduzibel ist.
Sei nun ${\displaystyle {}V}$ nicht irreduzibel. Bei ${\displaystyle {}V=\emptyset }$ ist ${\displaystyle {}\operatorname {Id} \,(V)=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ kein Primideal. Sei also ${\displaystyle {}V\neq \emptyset }$ mit der nicht-trivialen Zerlegung ${\displaystyle {}V=Y\cup Z}$. Sei ${\displaystyle {}Y=V({\mathfrak {a}}_{1})}$ und ${\displaystyle {}Z=V({\mathfrak {a}}_{2})}$. Wegen ${\displaystyle {}Y\subset V}$ gibt es einen Punkt ${\displaystyle {}P\in V=V(\operatorname {Id} \,(V))}$, ${\displaystyle {}P\not \in V({\mathfrak {a}}_{1})}$. Also gibt es auch ein ${\displaystyle {}F\in {\mathfrak {a}}_{1}}$, ${\displaystyle {}F(P)\neq 0}$, und somit ${\displaystyle {}F\not \in \operatorname {Id} \,(V)}$. Ebenso gibt es ${\displaystyle {}G\in {\mathfrak {a}}_{2}}$, ${\displaystyle {}G\not \in \operatorname {Id} \,(V)}$. Für einen beliebigen Punkt ${\displaystyle {}Q\in V=Y\cup Z}$ ist ${\displaystyle {}(FG)(Q)=0}$, da ${\displaystyle {}F}$ auf ${\displaystyle {}Y}$ und ${\displaystyle {}G}$ auf ${\displaystyle {}Z}$ verschwindet. Also ist ${\displaystyle {}FG\in \operatorname {Id} \,(V)}$ und daher ist ${\displaystyle {}\operatorname {Id} \,(V)}$ kein Primideal.