Wir betrachten die durch die Gleichung

${\displaystyle {}X^{3}+Y^{3}=1\,}$

gegebene ebene algebraische Kurve.

1. Bestimme die Anzahl der Punkte dieser Kurve für den Körper ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(5)}$.
2. Bestimme die Anzahl der Punkte dieser Kurve für den Körper ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(7)}$.
3. Bestimme die Anzahl der Punkte dieser Kurve für den Körper ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(13)}$.
4. Bestimme die Anzahl der Punkte dieser Kurve für einen endlichen Körper ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q}}$ mit der Eigenschaft, dass ${\displaystyle {}q-1}$ und ${\displaystyle {}3}$ teilerfremd sind.