Nach Voraussetzung gibt es eine lineare Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

mit

${\displaystyle {}\psi (P+v)=\psi (P)+\varphi (v)\,.}$

Aus

${\displaystyle {}\varphi (v)=0\,}$

folgt

${\displaystyle {}\psi (P+v)=\psi (P)\,,}$

was aufgrund der Bijektivität von ${\displaystyle {}\psi }$ direkt

${\displaystyle {}P+v=P\,,}$

also

${\displaystyle {}v=0\,}$

bedeutet. Daher ist ${\displaystyle {}\varphi }$ injektiv. Zu ${\displaystyle {}w\in W}$ gibt es zu einem Punkt ${\displaystyle {}P\in E}$ wegen der Surjektivität von ${\displaystyle {}\psi }$ ein ${\displaystyle {}R\in E}$ mit

${\displaystyle {}\psi (R)=\psi (P)+w\,.}$

Daher ist

${\displaystyle {}\varphi ({\overrightarrow {RP}})=w\,}$

und ${\displaystyle {}\varphi }$ ist auch surjektiv. Mit der linearen Umkehrfunktion ${\displaystyle {}\varphi ^{-1}}$ gilt

${\displaystyle {}\psi ^{-1}(Q+w)=\psi ^{-1}(Q)+\varphi ^{-1}(w)\,}$

für ${\displaystyle {}Q\in F}$ und ${\displaystyle {}w\in W}$. Die bijektive Abbildung ${\displaystyle {}\psi }$ ergibt nämlich die Identität

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\psi (\psi ^{-1}(Q+w))&=Q+w\\&=\psi (\psi ^{-1}(Q))+\varphi (\varphi ^{-1}(w))\\&=\psi (\psi ^{-1}(Q)+\varphi ^{-1}(w)).\end{aligned}}}$