Es seien ${\displaystyle {}{\mathcal {A}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathcal {B}}}$ additive Kategorien. Ein kovarianter Funktor ${\displaystyle {}F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$ heißt additiv, wenn für Objekte ${\displaystyle {}G,H\in {\mathcal {A}}}$ die Abbildungen

${\displaystyle \operatorname {Mor} {\left(G,H\right)}\longrightarrow \operatorname {Mor} {\left(F(G),F(H)\right)},\,\varphi \longmapsto F(\varphi ),}$

Gruppenhomomorphismen sind.

Es seien ${\displaystyle {}{\mathcal {A}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathcal {B}}}$ additive Kategorien. Ein kontravarianter Funktor ${\displaystyle {}F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$ heißt additiv, wenn für Objekte ${\displaystyle {}G,H\in {\mathcal {A}}}$ die Abbildungen

${\displaystyle \operatorname {Mor} {\left(G,H\right)}\longrightarrow \operatorname {Mor} {\left(F(H),F(G)\right)},\,\varphi \longmapsto F(\varphi ),}$

Gruppenhomomorphismen sind.

Es seien ${\displaystyle {}{\mathcal {A}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathcal {B}}}$ abelsche Kategorien. Ein kovarianter Funktor ${\displaystyle {}F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$ heißt linksexakt, wenn er additiv ist und wenn für jede kurze exakte Sequenz

${\displaystyle 0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0}$

in ${\displaystyle {}{\mathcal {A}}}$ die Sequenz

${\displaystyle 0\longrightarrow F(A)\longrightarrow F(B)\longrightarrow F(C)}$

in ${\displaystyle {}{\mathcal {B}}}$ exakt ist.

Es seien ${\displaystyle {}{\mathcal {A}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathcal {B}}}$ abelsche Kategorien. Ein kovarianter Funktor ${\displaystyle {}F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$ heißt rechtsexakt, wenn er additiv ist und wenn für jede kurze exakte Sequenz

${\displaystyle 0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0}$

in ${\displaystyle {}{\mathcal {A}}}$ die Sequenz

${\displaystyle F(A)\longrightarrow F(B)\longrightarrow F(C)\longrightarrow 0}$

in ${\displaystyle {}{\mathcal {B}}}$ exakt ist.

Es seien ${\displaystyle {}{\mathcal {A}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathcal {B}}}$ abelsche Kategorien. Ein kontravarianter Funktor ${\displaystyle {}F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$ heißt linksexakt, wenn er additiv ist und wenn für jede kurze exakte Sequenz

${\displaystyle 0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0}$

in ${\displaystyle {}{\mathcal {A}}}$ die Sequenz

${\displaystyle 0\longrightarrow F(C)\longrightarrow F(B)\longrightarrow F(A)}$

in ${\displaystyle {}{\mathcal {B}}}$ exakt ist.

Es seien ${\displaystyle {}{\mathcal {A}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathcal {B}}}$ abelsche Kategorien. Ein kontravarianter Funktor ${\displaystyle {}F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$ heißt rechtsexakt, wenn er additiv ist und wenn für jede kurze exakte Sequenz

${\displaystyle 0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0}$

in ${\displaystyle {}{\mathcal {A}}}$ die Sequenz

${\displaystyle F(C)\longrightarrow F(B)\longrightarrow F(A)\longrightarrow 0}$

in ${\displaystyle {}{\mathcal {B}}}$ exakt ist.