Für ${\displaystyle {}n=1}$ gibt es nur den einen Summanden ${\displaystyle {}1+1}$, so dass der Induktionsanfang gesichert ist. Sei die Aussage für ein ${\displaystyle {}n}$ bewiesen. Wir unterteilen die zu berechnende Summe je nachdem, ob die beteiligten Summanden kleiner oder gleich ${\displaystyle {}n+1}$ sind. Dann ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und der Formel für die Summe der ersten ${\displaystyle {}n}$ Zahlen

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{1\leq i\leq n+1,\,1\leq j\leq n+1}(i+j)&=\sum _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq n}(i+j)+\sum _{\,1\leq j\leq n}(n+1+j)+\sum _{1\leq i\leq n}(i+n+1)+(n+1)+(n+1)\\&=(n+1)n^{2}+2\sum _{\,1\leq j\leq n}(n+1+j)+2(n+1)\\&=(n+1)n^{2}+2n(n+1)+2\sum _{\,1\leq j\leq n}j+2(n+1)\\&=(n+1)n^{2}+2n(n+1)+n(n+1)+2(n+1)\\&=(n+1)(n^{2}+2n+n+2)\\&=(n+1)(n+2)(n+1)\\&=(n+2)(n+1)^{2}.\,\end{aligned}}}$