Wir können annehmen, dass sämtliche ${\displaystyle {}M_{i}}$ nicht leer sind. Es gibt dann surjektive Abbildungen

${\displaystyle \varphi _{i}\colon \mathbb {N} \longrightarrow M_{i}.}$

Daraus konstruieren wir die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon I\times \mathbb {N} \longrightarrow \bigcup _{i\in I}M_{i},\,(i,n)\longmapsto \varphi _{i}(n),}$

die offensichtlich surjektiv ist. Nach Fakt ist die Produktmenge ${\displaystyle {}I\times \mathbb {N} }$ abzählbar, also gilt das auch für das Bild unter ${\displaystyle {}\varphi }$, und dieses ist die Vereinigung.