Es ist ${\displaystyle {}3}$ ein primitives Element der Einheitengruppe von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(7)}$. Somit ist der durch (es sei ${\displaystyle {}\zeta }$ eine primitive siebte Einheitswurzel)

${\displaystyle \zeta \longmapsto \zeta ^{3}}$

gegebene Automorphismus ein Erzeuger der Galoisgruppe. Die nichttrivialen Untergruppen der Galoisgruppe werden durch

${\displaystyle \zeta \longmapsto \zeta ^{6}=\zeta ^{-1}={\overline {\zeta }}}$

bzw. durch

${\displaystyle \zeta \longmapsto \zeta ^{9}=\zeta ^{2}}$

erzeugt.

Unter der ersten Abbildung wird ${\displaystyle {}\zeta ^{2}}$ auf ${\displaystyle {}\zeta ^{12}=\zeta ^{5}={\overline {\zeta ^{2}}}}$ und ${\displaystyle {}\zeta ^{3}}$ auf ${\displaystyle {}\zeta ^{18}=\zeta ^{4}={\overline {\zeta ^{3}}}}$ abgebildet. Die Abbildung ist also die Einschränkung der komplexen Konjugation und der Fixkörper ist

${\displaystyle {}K_{7}\cap \mathbb {R} =\mathbb {Q} [\zeta +{\overline {\zeta }}]\,.}$

Dabei ist ${\displaystyle {}\supseteq }$ klar. Es ist

${\displaystyle {}{\left(\zeta +{\overline {\zeta }}\right)}^{2}=\zeta ^{2}+{\overline {\zeta ^{2}}}+2\,}$

und

${\displaystyle {}{\left(\zeta +{\overline {\zeta }}\right)}^{3}=\zeta ^{3}+{\overline {\zeta ^{3}}}+3\zeta +3{\overline {\zeta }}\,.}$

Somit ist mit ${\displaystyle {}u=\zeta +{\overline {\zeta }}}$

${\displaystyle {}u^{3}+u^{2}-2u-1=\zeta ^{3}+{\overline {\zeta ^{3}}}+3\zeta +3{\overline {\zeta }}+\zeta ^{2}+{\overline {\zeta ^{2}}}+2-2{\left(\zeta +{\overline {\zeta }}\right)}-1=\sum _{i=0}^{6}\zeta ^{i}=0\,.}$

Also ist

${\displaystyle {}K_{7}\cap \mathbb {R} \cong \mathbb {Q} [U]/(U^{3}+U^{2}-2U-1)\,.}$

Unter der Abbildung ${\displaystyle {}\zeta \mapsto \zeta ^{2}}$ wird ${\displaystyle {}\zeta ^{2}}$ auf ${\displaystyle {}\zeta ^{4}}$ und ${\displaystyle {}\zeta ^{4}}$ auf ${\displaystyle {}\zeta ^{8}=\zeta }$ abgebildet. Somit wird unter dieser Abbildung ${\displaystyle {}\zeta +\zeta ^{2}+\zeta ^{4}}$ auf sich selbst abgebildet und ist ein Fixelement unter diesem Automorphismus. Es ist

${\displaystyle {}{\left(\zeta +\zeta ^{2}+\zeta ^{4}\right)}^{2}+\zeta +\zeta ^{2}+\zeta ^{4}=\zeta ^{2}+\zeta ^{4}+\zeta ^{8}+2\zeta ^{3}+2\zeta ^{5}+2\zeta ^{6}+\zeta +\zeta ^{2}+\zeta ^{4}=2{\left(\zeta +\zeta ^{2}+\zeta ^{3}+\zeta ^{4}+\zeta ^{5}+\zeta ^{6}\right)}=-2\,.}$

Das Element

${\displaystyle {}v=\zeta +\zeta ^{2}+\zeta ^{4}\,}$

erfüllt als die quadratische Gleichung

${\displaystyle {}v^{2}+v+2=0\,.}$

Daher ist

${\displaystyle {}v={\frac {{\sqrt {-7}}-1}{2}}\,}$

und der Fixkörper ist ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {-7}}]\cong \mathbb {Q} [X]/(X^{2}+7)}$. Zur trivialen Untergruppe gehört der volle Kreisteilungskörper

${\displaystyle {}K_{7}=\mathbb {Q} [X]/(\Phi _{7})\,}$

${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$