Die Bedingung bedeutet

${\displaystyle {}M^{2}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a^{2}+bc&ab+bd\\ac+dc&d^{2}+bc\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\,.}$

Aus

${\displaystyle {}b(a+d)=0\,}$

folgt ${\displaystyle {}b=0}$ oder ${\displaystyle {}a+d=0}$. Bei ${\displaystyle {}a+d\neq 0}$ folgt aus den Einträgen rechts oben und links unten direkt

${\displaystyle {}b=c=0\,.}$

Daraus ergibt sich aus links oben und rechts unten ebenfalls

${\displaystyle {}a=d=0\,,}$

was der Annahme widerspricht. Es muss also

${\displaystyle {}a+d=0\,}$

sein, also

${\displaystyle {}d=-a\,.}$

Damit sind die Bedingungen rechts oben und links unten erfüllt und die beiden anderen Bedingungen sind äquivalent und bedeuten einfach

${\displaystyle {}a^{2}+bc=0\,.}$

Wenn ${\displaystyle {}b=0}$ (bzw. ${\displaystyle {}c=0}$) ist, so ist

${\displaystyle {}a=d=0\,}$

und ${\displaystyle {}c}$ (bzw. ${\displaystyle {}b}$) beliebig. Dies führt zu den Lösungen ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0&0\\c&0\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0&b\\0&0\end{pmatrix}}}$. Seien nun

${\displaystyle {}b,c\neq 0\,.}$

Wenn ${\displaystyle {}b,c}$ beide positiv oder beide negativ sind, so gibt es keine Lösung für ${\displaystyle {}a}$. Also müssen die Vorzeichen von ${\displaystyle {}b}$ und ${\displaystyle {}c}$ verschieden sein. In diesem Fall ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\pm {\sqrt {-bc}}&b\\c&\mp {\sqrt {-bc}}\end{pmatrix}}}$