Ziel

Durch Anwendung von Computeralgebrasystemen sollen die formal definierten Verfahren experimentell untersucht werden.

Aufgabe 1

Gegeben ist eine darstellende Matrix ${\displaystyle A\in Mat(3\times 3,\mathbb {R} )}$ für eine lineare Abbildung ${\displaystyle f_{A}:\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ mit ${\displaystyle f_{A}(x):=A\cdot x}$ für ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{3}}$ bezüglich der kanonischen Basis

${\displaystyle B_{1}=(e_{1},e_{2},e_{3})=\left({\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right).}$ 

Ferner lässt sich die Abbildung diagonalisieren bzgl. der Basis

${\displaystyle B_{2}=(b_{1},b_{2},b_{3})=\left({\begin{pmatrix}-1\\3\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\2\\-2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}\right)}$ 

Die darstellende Matrix der Abbildung ${\displaystyle f_{A}}$ in der Basis ${\displaystyle B_{2}}$ ist die folgende Diagonalmatrix.

${\displaystyle D_{A}=\operatorname {diag} \left(1,3,-5\right)={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&-5\end{pmatrix}}}$

Mit ${\displaystyle D_{A}=S^{-1}AS}$

• Geben Sie die darstellende Matrix ${\displaystyle S^{-1}=M_{B_{2}}^{B_{1}}}$ für den Basiswechsel von ${\displaystyle B_{2}}$ nach ${\displaystyle B_{1}}$ an.
• Berechnen die darstellende Matrix ${\displaystyle S=M_{B_{1}}^{B_{2}}}$ für den Basiswechsel von ${\displaystyle B_{1}}$ nach ${\displaystyle B_{2}}$ mit einem Computeralgebrasystem (z.B. wxMaxima).
• Berechnen Sie die ${\displaystyle A}$!
• Gehen Sie umgekehrt vor und starten Sie bei der Matrix ${\displaystyle A}$ und berechnen Sie die Eigenwerte und die Basiswechselmatrizen. Was fällt Ihnen zu der vorgegebenen Basis auf ${\displaystyle B_{2}}$. Geben Sie alternative Basen an, bzgl.${\displaystyle D_{A}}$ an.

Aufgabe 2: Wechselkoordinatensystem

In der folgenden Abbildung sehen Sie einen Vektor ${\displaystyle vin\mathbb {R} ^{2}}$ blau markiert, der im kanonischen Koordinatensystem mit den Basisvektoren ${\displaystyle B_{1}=(e_{1},e_{2})=\left({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\right)}$ die Koordinaten ${\displaystyle \left({\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}\right)}$ besitzt.

Wechsel des Koordinatensystems von einem kanonischen Koordinatensystem in eine weiteres Koordinatensystem mit den Basis ${\displaystyle b_{1},b2}$

In dem neuen Koordinatensystem ${\displaystyle B_{2}=(b_{1},b_{2})=\left({\begin{pmatrix}1,35\\0,17\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0,47\\0,73\end{pmatrix}}\right).}$ besitzt der Vektor ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{2}}$ näherungsweise die Koordinaten ${\displaystyle {\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}_{B_{2}}.}$. Berechnen Sie die Koordinaten ${\displaystyle M_{B_{1}}^{B_{2}}\cdot {\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}_{B_{1}}={\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\end{pmatrix}}_{B_{2}}}$ exakt mit den obigen Basisvektoren ${\displaystyle b_{1},b_{2}}$ unter Angabe der Koordinatentransformationsmatirx ${\displaystyle M_{B_{1}}^{B_{2}}}$.

Siehe auch

• Diagonalisierung
• Trigonalisierung