Es ist ${\displaystyle {}7}$ ein Teiler von

${\displaystyle {}0=x-x\,,}$

daher ist ${\displaystyle {}x\sim x}$, was die Reflexivität bedeutet. Sei ${\displaystyle {}x\sim y}$. Dies bedeutet, dass ${\displaystyle {}7}$ ein Teiler von ${\displaystyle {}x-y}$ ist, was wiederum bedeutet, dass

${\displaystyle {}x-y=7\cdot c\,}$

mit einem gewissen ${\displaystyle {}c\in \mathbb {Z} }$ ist. Durch Multiplikation mit ${\displaystyle {}-1}$ erhält man

${\displaystyle {}y-x=-(x-y)=7\cdot (-c)\,.}$

Also ist ${\displaystyle {}7}$ auch ein Teiler von ${\displaystyle {}y-x}$ und somit ist ${\displaystyle {}y\sim x}$, was insgesamt die Symmetrie bedeutet. Zum Nachweis der Transitivität seien schließlich ${\displaystyle {}x\sim y}$ und ${\displaystyle {}y\sim z}$. Somit ist

${\displaystyle {}x-y=7c\,}$

und

${\displaystyle {}y-z=7d\,}$

mit gewissen ${\displaystyle {}c,d\in \mathbb {Z} }$. Insgesamt ergibt sich

${\displaystyle {}x-z=(x-y)+(y-z)=7c+7d=7(c+d)\,,}$

so dass auch ${\displaystyle {}x-z}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}7}$ ist. Also ist

${\displaystyle {}x\sim z}$