Äquivalenzklassen/Partition/Quotientenmenge/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Seien ${}x$ und ${}y$ äquivalent und ${}u\in [x]$ . Dann ist ${}x\sim u$ und nach der Transitivität auch ${}y\sim u$ , also ${}u\in [y]$ . Damit stimmen die Äquivalenzklassen überein. Die Implikation von der Mitte nach rechts ist klar, da wegen ${}x\sim x$ Äquivalenzklassen nicht leer sind. Sei nun ${}[x]\cap [y]\neq \emptyset$ , und sei ${}z$ ein Element im Durchschnitt. Dann ist ${}x\sim z$ und ${}y\sim z$ und wegen der Transitivität ist ${}x\sim y$ .
Wegen der Reflexivität ist ${}x\in [x]$ und daher ist ${}M=\bigcup _{[x]\in M/\sim }[x]$ . Wegen Teil (1) ist die Vereinigung disjunkt.
Die Surjektivität ist klar aufgrund der Definition der Quotientenmenge, und da ${}x$ auf die Klasse ${}[x]$ geschickt wird.
Es ist
${}q^{-1}([x])={\left\{y\in M\mid q(y)=[x]\right\}}={\left\{y\in M\mid [y]=[x]\right\}}={\left\{y\in M\mid y\sim x\right\}}=[x]\,.$

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