Arithmetische Reihe

Arithmetische Reihen sind spezielle mathematische Reihen. Eine arithmetische Reihe ist eine Folge, die durch die Summierung einer arithmetischen Folge entsteht.[1] Arithmetische Reihen sind üblicherweise divergent (außer im Spezialfall einer konstanten Folge). Es interessieren deshalb vor allem die Reihenglieder (d. h. die Partialsummen), die auch als endliche arithmetische Reihen bezeichnet werden.

Berechnung

Ist $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ eine (allgemeine) Folge, so ist das $n$ -te Glied der zugehörigen Reihe $s_{1},s_{2},s_{3},\ldots$ die $n$ -te Partialsumme

s_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{n}

.

Speziell bei einer arithmetischen Folge $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ lassen sich die Folgenglieder mithilfe des ersten Folgenglieds und der (konstanten) Differenz $d$ zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern ausdrücken:

a_{i}=a_{1}+(i-1)d

.

Durch Einsetzen in den Summenausdruck erhält man

s_{n}=\sum _{i=1}^{n}(a_{1}+(i-1)d)

.

Hieraus lassen sich verschiedene geschlossene Formeln für $s_{n}$ gewinnen:

Bei Kenntnis von $a_{1}$ und $d$ lässt sich $s_{n}$ berechnen als

s_{n}=na_{1}+{\frac {n(n-1)}{2}}d

.[A 1]

Bei Kenntnis von $a_{1}$ und $a_{n}$ lässt sich $s_{n}$ berechnen als

s_{n}=n\cdot {\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}

.[A 2]

Die letzte Formel lässt sich besonders leicht merken: Die Summe einer endlichen arithmetischen Folge ist die Anzahl der Glieder multipliziert mit dem arithmetischen Mittel des ersten und des letzten Gliedes.

Formal beweisen lassen sich die beiden Formeln mithilfe der Methode der vollständigen Induktion.

Spezielle Summen

Für die Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen $(a_{1}=1,d=1)$ gilt die Gaußsche Summenformel

\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\dotsb +n={\frac {n(n+1)}{2}}

und für die Summe der ersten $n$ ungeraden natürlichen Zahlen $(a_{1}=1,d=2)$ gilt

\sum _{k=1}^{n}(2k-1)=1+3+5+7+\dotsb +(2n-1)=n\cdot {\frac {1+2n-1}{2}}=n^{2}

.

Siehe auch

Weblinks

Eric W. Weisstein: Arithmetic Series. In: MathWorld (englisch).

Anmerkungen

Diese Formel erhält man, indem man ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}(a_{1}+(i-1)d)=\sum _{i=1}^{n}a_{1}+d\sum _{i=1}^{n}(i-1)}$ schreibt und auf die zweite Summe die Gaußsche Summenformel anwendet.
Diese Formel erhält man aus der ersten Formel: ${\textstyle na_{1}+{\frac {n(n-1)}{2}}d={\frac {n}{2}}(a_{1}+a_{1}+(n-1)d)=n\cdot {\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}}$ .

Einzelnachweise

Walter Purkert, Alexander Herzog: Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. 9. Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2022, ISBN 978-3-658-36741-1, S. 97.

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[2] Diese Formel erhält man, indem man ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}(a_{1}+(i-1)d)=\sum _{i=1}^{n}a_{1}+d\sum _{i=1}^{n}(i-1)}$ schreibt und auf die zweite Summe die Gaußsche Summenformel anwendet.

[3] Diese Formel erhält man aus der ersten Formel: ${\textstyle na_{1}+{\frac {n(n-1)}{2}}d={\frac {n}{2}}(a_{1}+a_{1}+(n-1)d)=n\cdot {\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}}$ .

[1] Walter Purkert, Alexander Herzog: Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. 9. Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2022, ISBN 978-3-658-36741-1, S. 97.