Beweis: Definiere die Menge

${\displaystyle A_{n}:=\{\exists m\geq n:|X_{n}-X_{\infty }|\geq \epsilon \}}$.

Ferner setze

${\displaystyle A_{\infty }:=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$.

Die Mengenfolge ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ist absteigend, d. h. sie wird immer kleiner. ${\displaystyle A_{\infty }}$ ist sogar eine Nullmenge, denn wenn ${\displaystyle X_{n}(\omega )}$ mit ${\displaystyle n\to \infty }$ gegen ${\displaystyle X_{\infty }(\omega )}$ konvergiert, dann ist ${\displaystyle \omega \notin A_{n}}$ falls ${\displaystyle n}$ hinreichend groß ist. Aufgrund der Stetigkeit der Wahrscheinlichkeit folgt

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {P} (A_{n})=\mathbb {P} (A_{\infty })=0}$.

Aber

${\displaystyle \mathbb {P} (|X_{n}-X|\geq \epsilon )\leq \mathbb {P} (A_{n})\to 0}$. ${\displaystyle \Box }$