Die zeitabhängigen kanonischen Transformationen führen auf folgenden Zusammenhang zwischen der transformierten Hamiltonfunktion ${\displaystyle {\bar {H}}\left(Q,\Pi _{Q},t\right)}$ in den neuen Koordinaten ${\displaystyle \left(Q,\Pi _{Q}\right)}$ und der ursprünglichen Hamiltonfunktion ${\displaystyle H\left(q,\pi _{q},t\right)}$ in den alten Variablen ${\displaystyle \left(q,\pi _{q}\right)}$:

${\displaystyle {\bar {H}}\left(Q,\Pi _{Q},t\right)=H\left(q,\pi _{q},t\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{n},\;n=1,2,3,4}$.

${\displaystyle G_{n}}$ ist hierbei eine der Erzeugenden der kanonischen Transformation ${\displaystyle q=q\left(Q,\Pi _{Q},t\right),\,\pi _{q}=\pi _{q}\left(Q,\Pi _{Q},t\right)}$. Diese Transformation soll jetzt so gewählt werden, dass

${\displaystyle {\bar {H}}\equiv 0}$.

Hierdurch werden die neuen kanonischen Variablen über die Hamilton'schen Bewegungsgleichungen zu Konstanten:

${\displaystyle {\dot {Q}}={\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial \Pi _{Q}}}=0\,\Longrightarrow Q=Q_{0}=const.}$,

${\displaystyle {\dot {\Pi }}_{Q}=-{\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial Q}}=0\,\Longrightarrow \Pi _{Q}=\Pi _{0}=const.}$.

Zusätzlich dürfen wir noch die erzeugenden Funktionen der kanonischen Transformation zu Rate ziehen: Wegen ${\displaystyle dG_{1}\left(q,Q,t\right)=\pi _{q}\,dq-\Pi _{Q}\,dQ+\left({\bar {H}}-H\right)dt}$ folgt hieraus ${\displaystyle \Pi _{0}=\Pi _{Q}=-\left({\frac {\partial }{\partial Q}}\right)_{Q=Q_{0}}G_{1}\left(q,Q,t\right)}$ , woraus sich dann durch Auflösen q bestimmen ließe (denn Q und ${\displaystyle \Pi _{Q}}$ sind ja Konstanten), wenn ${\displaystyle G_{1}}$ bekannt wäre. Alternativ folgt aus ${\displaystyle dG_{3}\left(q,\Pi _{Q},t\right)=\pi _{q}\,dq+Q\,d\Pi _{Q}+\left({\bar {H}}-H\right)dt}$, dass ${\displaystyle Q_{0}=Q=\left({\frac {\partial }{\partial \Pi _{Q}}}\right)_{\Pi _{Q}=\Pi _{0}}G_{3}\left(q,\Pi _{Q},t\right)}$ gilt, woraus gleichermaßen durch Auflösen q ermittelt werden könnte, wenn ${\displaystyle G_{3}}$ bekannt wäre. Außerdem wäre es dann möglich, bei beiden Varianten der erzeugenden Funktion die alte kanonische Impulsvariable folgendermaßen anzugeben: ${\displaystyle \pi _{q}={\frac {\partial }{\partial q}}G_{1,3}}$. Somit können wir die sog. "Hamilton-Jacobi'schen Differenzialgleichungen" aufstellen:

${\displaystyle 0={\bar {H}}\left(Q,\Pi _{Q},t\right)=H\left(q,\pi _{q}={\frac {\partial }{\partial q}}G_{1}\left(q,Q_{0},t\right),t\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{1}\left(q,Q_{0},t\right)}$

oder alternativ

${\displaystyle 0={\bar {H}}\left(Q,\Pi _{Q},t\right)=H\left(q,\pi _{q}={\frac {\partial }{\partial q}}G_{3}\left(q,\Pi _{0},t\right),t\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{3}\left(q,\Pi _{0},t\right)}$,

aus denen die erzeugenden Funktionen ${\displaystyle G_{1}}$ bzw. ${\displaystyle G_{3}}$ ermittelt werden müssen.

Die letztere Variante der Hamilton-Jacobi'schen Differenzialgleichung soll nun für den harmonischen Oszillator aufgestellt und gelöst werden. Hierzu gehen wir also wieder von der Hamiltonfunktion ${\displaystyle H\left(q,\pi _{q}\right)={\frac {\pi _{q}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}q^{2}}$ aus, woraus die folgende Differenzialgleichung resultiert:

${\displaystyle 0={\frac {1}{2m}}\left({\frac {\partial G_{3}}{\partial q}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}q^{2}+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{3}}$.

Mit dem Ansatz (denn die erzeugende Funktion ist wegen ${\displaystyle \Pi _{Q}=\Pi _{0}=const.}$ keine Funktion mehr von ${\displaystyle \Pi _{Q}}$)

${\displaystyle G_{3}\left(q,\Pi _{0},t\right)=S_{1}\left(q\right)+S_{2}\left(t\right)}$

wird aus jener Gleichung

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {\partial S_{1}\left(q\right)}{\partial q}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}q^{2}=-{\frac {\partial }{\partial t}}S_{2}\left(t\right)}$.

Da die linke Seite nur von q und die rechte Seite ausschließlich von t abhängt, können wir aus ihr zwei Gleichungen der Form

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {\partial S_{1}\left(q\right)}{\partial q}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}q^{2}=E=const.}$.

${\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}S_{2}\left(t\right)=E=const.}$.

bilden. Lösen wir die Erstere nach ${\displaystyle {\frac {\partial S_{1}}{\partial q}}}$ auf und integrieren dies über q, so erhalten wir:

${\displaystyle S_{1}=\int dq\,{\sqrt {2m\left(E-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}q^{2}\right)}}}$.

Entsprechend hierzu wird die zweite Gleichung über die Zeit integriert:

${\displaystyle S_{2}=-Et+const.}$.

Die im Prinzip beliebige Konstante ${\displaystyle \Pi _{0}}$ wählen wir einfach gleich E: ${\displaystyle \Pi _{Q}=\Pi _{0}=E}$. Außerdem gilt:

${\displaystyle const.=Q_{0}=Q=\left({\frac {\partial }{\partial \Pi _{Q}}}\right)_{\Pi _{Q}=\Pi _{0}}G_{3}\left(q,\Pi _{Q},t\right)={\frac {\partial }{\partial E}}\left(S_{1}\left(q\right)+S_{2}\left(t\right)\right)={\sqrt {\frac {m}{2}}}\int dq\,{\frac {1}{\sqrt {E-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}q^{2}}}}-t}$.

Mit Hilfe der Substitution ${\displaystyle {\sqrt {\frac {m\omega ^{2}}{2E}}}q=\sin \alpha }$ folgt hieraus die bekannte Lösung des harmonischen Oszillators:

${\displaystyle q\left(t\right)={\sqrt {\frac {2E}{m\omega ^{2}}}}\,\sin \left(\omega t+\delta \right)}$,

mit der Konstanten ${\displaystyle \delta =\omega Q_{0}}$.