Erstellt von:	Peter Riedel
Schwierigkeitsgrad:	fortgeschritten
Modell:	Voyage 200

Quersumme

Quersumme

Bei folgenden Funktionen und Programmen ist es nicht nötig die Ziffernanzahl $k$ der natürlichen Zahl $n$ als zweites Argument zu übergeben, sondern wird intern mithilfe der Funktion $\operatorname {numdigit} (n,1)$ in Abhängigkeit von $n$ automatisch berechnet. $k$ wird im Quelltext also durch $\operatorname {numdigit} (n,1)$ ersetzt. Allerdings kann das häufige Aufrufen von Funktionen bei Zahlen mit vielen Stellen die Geschwindigkeit der Ausführung deutlich verringern. Daher sollte man bei rechenintensiven Anwendungen $k$ mitübergeben, auch wenn das weniger komfortabel ist als nur ein Argument übergeben zu müssen.

\operatorname {numdigit} (n,i)={\begin{cases}\operatorname {numdigit} (n,i+1),&{\mbox{wenn }}n\operatorname {mod} 10^{i}<n\\i,&{\mbox{wenn }}n\operatorname {mod} 10^{i}=n\end{cases}}

:numdigit(n,i) :Func :While 10^i≤n :©While mod(n,10^i)<n : i+1→i :EndWhile :Return i :EndFunc

:numdigit(n,i) :Func :If 10^i≤n Then :©If mod(n,10^i)<n Then : Return numdigit(n,i+1) :Else : Return i :EndIf :EndFunc

Linksassoziativ

$k$ Ziffern der natürlichen Zahl $n$ werden von links nach rechts ziffernweise addiert, sodass man die Quersumme $\operatorname {qs} (n,k)$ von $n$ erhält.

\operatorname {qs} (n,k)=\sum _{i=0}^{k-1}\;{\frac {n\;\operatorname {mod} \;10^{k-i}\;-\;n\;\operatorname {mod} \;10^{k-i-1}}{10^{k-i-1}}}\;\Leftrightarrow \;\operatorname {qs} (n,k)=\sum _{i=1}^{k}\;{\frac {n\;\operatorname {mod} \;10^{k-i+1}\;-\;n\;\operatorname {mod} \;10^{k-i}}{10^{k-i}}}

n\in \mathbb {N} ,\;k\in \mathbb {N} \setminus \{0\}

Funktion

:qs(n) :Func :If n<0 or mod(n,1)≠0 : Return undef :Return Σ((mod(n,10^(numdigit(n,1)-i))-mod(n,10^(numdigit(n,1)-i-1)))/10^(numdigit(n,1)-i-1),i,0,numdigit(n,1)-1) :©Return Σ((mod(n,10^(numdigit(n,1)-i+1))-mod(n,10^(numdigit(n,1)-i)))/10^(numdigit(n,1)-i),i,1,numdigit(n,1)) :EndFunc

Programm

:qs(n) :Prgm :ClrIO :If n<0 or mod(n,1)≠0 Then : Disp "Fehler: n ∈ N = {0,1,2,...,∞}" : Return :EndIf :numdigit(n,1)→i :string(n)→n :0→q :0→k :While k<i : k+1→k : expr(mid(n,k,1))→j : q+j→q :EndWhile :string(q)→q :Disp "Quersumme: "&q :EndPrgm

Rechtsassoziativ

$k$ Ziffern der natürlichen Zahl $n$ werden von rechts nach links ziffernweise addiert, sodass man die Quersumme $\operatorname {qs} (n,k)$ von $n$ erhält.

\operatorname {qs} (n,k)=\sum _{i=0}^{k-1}\;{\frac {n\;\operatorname {mod} \;10^{i+1}\;-\;n\;\operatorname {mod} \;10^{i}}{10^{i}}}\;\Leftrightarrow \;\operatorname {qs} (n,k)=\sum _{i=1}^{k}\;{\frac {n\;\operatorname {mod} \;10^{i}\;-\;n\;\operatorname {mod} \;10^{i-1}}{10^{i-1}}}

n\in \mathbb {N} ,\;k\in \mathbb {N} \setminus \{0\}

Funktion

:qs(n) :Func :If n<0 or mod(n,1)≠0 : Return undef :Return Σ((mod(n,10^(i+1))-mod(n,10^i))/10^i,i,0,numdigit(n,1)-1) :©Return Σ((mod(n,10^i)-mod(n,10^(i-1)))/10^(i-1),i,1,numdigit(n,1)) :EndFunc

Programm

:qs(n) :Prgm :ClrIO :If n<0 or mod(n,1)≠0 Then : Disp "Fehler: n ∈ N = {0,1,2,...,∞}" : Return :EndIf :numdigit(n,1)→i :string(n)→n :0→q :While i>0 : expr(mid(n,i,1))→j : q+j→q : i-1→i :EndWhile :string(q)→q :Disp "Quersumme: "&q :EndPrgm

Iterative Quersumme

Iterative Quersumme

\operatorname {itqs} (n,z)={\begin{cases}0,&{\mbox{wenn }}n=0\\z,&{\mbox{wenn }}n\;\operatorname {mod} \;z=0\ {\text{und}}\ n\neq 0\\n\;\operatorname {mod} \;z,&{\mbox{wenn }}n\;\operatorname {mod} \;z\neq 0\end{cases}}

:itqs(n,z) :Func :If mod(n,z)≠0 Then : Return mod(n,z) :ElseIf mod(n,z)=0 and n≠0 Then : Return z :Else : Return 0 :EndIf :EndFunc

Rekursion

\operatorname {itqs} (n,k)={\begin{cases}\operatorname {qs} (n,k),&{\mbox{wenn }}\operatorname {qs} (n,k)<10\\\operatorname {itqs} (\operatorname {qs} (n,k),\operatorname {numdigit(qs} (n,k),1)),&{\mbox{wenn }}\operatorname {qs} (n,k)\geq 10\end{cases}}

n\in \mathbb {N} ,\;k\in \mathbb {N} \setminus \{0\}

Funktion

:itqs(n) :Func :If qs(n)≥10 Then : Return itqs(qs(n)) :Else : Return qs(n) :EndIf :EndFunc

Programm

:itqs(n) :Prgm :ClrIO :If n<0 or mod(n,1)≠0 Then : Disp "Error: n ∈ N = {0,1,2,...,∞}" : Return :EndIf :0→k :While n>9 : num(n,1)→i : string(n)→n : 0→q : While i>0 : expr(mid(n,i,1))→j : q+j→q : i-1→i : EndWhile : k+1→k : q→n :EndWhile :string(n)→n :string(k)→k :Disp "additive digital root: "&n,"additive persistence: "&k :EndPrgm

Alternierende Quersumme

Alternierende Quersumme

Linksassoziativ

$k$ Ziffern der natürlichen Zahl $n$ werden von links nach rechts ziffernweise abwechselnd addiert und subtrahiert, sodass man die alternierende Quersumme $\operatorname {aqs} (n,k)$ von $n$ erhält.

\operatorname {aqs} (n,k)=\sum _{i=0}^{k-1}\;{\frac {n\;\operatorname {mod} \;10^{k-i}\;-\;n\;\operatorname {mod} \;10^{k-i-1}}{10^{k-i-1}}}\;\cdot \;(-1)^{i}\;\Leftrightarrow \;\operatorname {aqs} (n,k)=\sum _{i=1}^{k}\;{\frac {n\;\operatorname {mod} \;10^{k-i+1}\;-\;n\;\operatorname {mod} \;10^{k-i}}{10^{k-i}}}\;\cdot \;(-1)^{i-1}

n\in \mathbb {N} ,\;k\in \mathbb {N} \setminus \{0\}

Funktion

:aqs(n) :Func :If n<0 or mod(n,1)≠0 : Return undef :Return Σ((mod(n,10^(numdigit(n,1)-i))-mod(n,10^(numdigit(n,1)-i-1)))/10^(numdigit(n,1)-i-1)*(-1)^i,i,0,numdigit(n,1)-1) :©Return Σ((mod(n,10^(numdigit(n,1)-i+1))-mod(n,10^(numdigit(n,1)-i)))/10^(numdigit(n,1)-i)*(-1)^(i-1),i,1,numdigit(n,1)) :EndFunc

Programm

Rechtsassoziativ

$k$ Ziffern der natürlichen Zahl $n$ werden von rechts nach links ziffernweise abwechselnd addiert und subtrahiert, sodass man die alternierende Quersumme $\operatorname {aqs} (n,k)$ von $n$ erhält.

\operatorname {aqs} (n,k)=\sum _{i=0}^{k-1}\;{\frac {n\;\operatorname {mod} \;10^{i+1}\;-\;n\;\operatorname {mod} \;10^{i}}{10^{i}}}\;\cdot \;(-1)^{i}\;\Leftrightarrow \;\operatorname {aqs} (n,k)=\sum _{i=1}^{k}\;{\frac {n\;\operatorname {mod} \;10^{i}\;-\;n\;\operatorname {mod} \;10^{i-1}}{10^{i-1}}}\;\cdot \;(-1)^{i-1}

n\in \mathbb {N} ,\;k\in \mathbb {N} \setminus \{0\}

Funktion

:aqs(n) :Func :If n<0 or mod(n,1)≠0 : Return undef :Return Σ((mod(n,10^(i+1))-mod(n,10^i))/10^i*(-1)^i,i,0,numdigit(n,1)-1) :©Return Σ((mod(n,10^i)-mod(n,10^(i-1)))/10^(i-1)*(-1)^(i-1),i,1,numdigit(n,1)) :EndFunc

Programm

Nichtalternierende t-Quersumme

Nichtalternierende t-Quersumme

Zahlenblöcke mit $t$ Ziffern der natürlichen Zahl $n$ mit $k$ Ziffern werden von rechts nach links blockweise addiert, sodass man die $t$ -Quersumme $\operatorname {tqs} (n,k,t)$ von $n$ erhält.

\operatorname {tqs} (n,k,t)=\sum _{i=0}^{\frac {k-1}{t}}\;{\frac {n\;\operatorname {mod} \;10^{i\cdot t+t}\;-\;n\;\operatorname {mod} \;10^{i\cdot t}}{10^{i\cdot t}}}

Funktion

:tqs(n,t) :Func :If n<0 or mod(n,1)≠0 or t<1 or mod(t,1)≠0 : Return undef :Return Σ((mod(n,10^(i*t+t))-mod(n,10^(i*t)))/10^(i*t),i,0,(numdigit(n,1)-1)/t) :©Return Σ((mod(n,10^(i*t))-mod(n,10^(i*t-t)))/10^(i*t-t),i,1,numdigit(n,1)/t+1) :EndFunc

Alternierende t-Quersumme

Nichtalternierende t-Quersumme

Zahlenblöcke mit $t$ Ziffern der natürlichen Zahl $n$ mit $k$ Ziffern werden von rechts nach links blockweise abwechselnd addiert und subtrahiert, sodass man die $t$ -Quersumme $\operatorname {tqs} (n,k,t)$ von $n$ erhält.

\operatorname {atqs} (n,k,t)=\sum _{i=0}^{\frac {k-1}{t}}\;{\frac {n\;\operatorname {mod} \;10^{i\cdot t+t}\;-\;n\;\operatorname {mod} \;10^{i\cdot t}}{10^{i\cdot t}}}\cdot (-1)^{i}

Funktion

:atqs(n,t) :Func :If n<0 or mod(n,1)≠0 or t<1 or mod(t,1)≠0 : Return undef :Return Σ((mod(n,10^(i*t+t))-mod(n,10^(i*t)))/10^(i*t)*(-1)^i,i,0,(numdigit(n,1)-1)/t) :©Return Σ((mod(n,10^(i*t))-mod(n,10^(i*t-t)))/10^(i*t-t)*(-1)^(i-1),i,1,numdigit(n,1)/t+1) :EndFunc

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