Die kritischen Exponenten der Landau-Theorie sind nicht voneinander unabhängig, was jetzt im Rahmen der Annahmen dieser Theorie gezeigt werden soll. Die Beziehungen untereinander werden gerne als »Skalenrelationen« bezeichnet.

Aus

${\displaystyle \left|t\right|^{\beta }\sim m_{0}{\overset {!}{=}}\chi h\sim \left|t\right|^{-\gamma }h}$

folgt ${\displaystyle \left|t\right|^{\beta +\gamma }\sim h}$. Dies verwenden wir zum einen in ${\displaystyle \left|t\right|^{\beta }\sim m_{0}\sim h^{\frac {1}{\delta }}}$, woraus ${\displaystyle \beta \delta =\beta +\gamma }$ resultiert. Zum andern verwenden wir es mit ${\displaystyle m_{0}^{2}\approx -{\frac {a}{2b}}t}$ und ${\displaystyle c_{P}\approx {\frac {a}{2b}}T_{C}{\underset {t\rightarrow 0,\,t>0}{\sim }}t^{-\alpha }}$ (mit ${\displaystyle T\approx T_{C}}$ wegen ${\displaystyle t\rightarrow 0}$) in

${\displaystyle \left|t\right|^{\beta }h\sim m_{0}hV\approx atm_{0}^{2}\approx -{\frac {a^{2}}{2b}}t^{2}\approx -{\frac {c_{p}}{T_{C}}}t^{2}\sim \left|t\right|^{-\alpha +2}}$,

was zu ${\displaystyle h\sim \left|t\right|^{2-\alpha -\beta }}$ führt, sodass sich ${\displaystyle \alpha +2\beta +\gamma =2}$ ergibt. Der Zusammenhang zwischen dem mittleren Schwankungsquadrat des Ordnungsparameters und der Korrelationsfunktion führt wegen ${\displaystyle r\sim \xi }$ (da ${\displaystyle {\hat {G}}\left(r\right)\propto {\frac {1}{r}}e^{-{\frac {r}{\xi }}}}$) und somit ${\displaystyle {\hat {G}}\left(r\right)\sim r^{-d+2-\eta }\sim \xi ^{-d+2-\eta }}$ als auch ${\displaystyle V\sim r^{d}\sim \xi ^{d}}$ , ${\displaystyle \chi \sim \left|t\right|^{-\gamma }}$ zu:

${\displaystyle \xi ^{-d}\left|t\right|^{-\gamma }\sim {\frac {\chi k_{B}T_{C}}{V}}=\left\langle \left(\Delta m\right)^{2}\right\rangle ={\frac {1}{V}}\int d^{3}x\,{\hat {G}}\left(r\right)\sim \xi ^{-d+2-\eta }}$,

woraus wir durch Vergleich mit ${\displaystyle \xi {\underset {t\rightarrow 0}{\sim }}\left|t\right|^{-\nu }}$ die Gleichung ${\displaystyle \nu \left(2-\eta \right)=\gamma }$ erschließen können.

Aus dem Ginzburg-Kriterium,

${\displaystyle \xi ^{-d}\left|t\right|^{-\gamma }\sim {\frac {\chi k_{B}T_{C}}{V}}=\left\langle \left(\Delta m\right)^{2}\right\rangle \approx m_{0}^{2}\sim \left|t\right|^{2\beta }}$,

erhalten wir zudem die sog. »Hyperskalenrelation«: ${\displaystyle \nu d=2\beta +\gamma }$ bzw. mittels ${\displaystyle \alpha +2\beta +\gamma =2}$ auch ${\displaystyle \nu d=2-\alpha }$.

Die Skalenrelationen beruhen auf der Invarianz der in der Landau-Theorie auftretenden Beziehungen unter sog. »Skalentransformationen«, was im Folgenden gezeigt werden soll. Beispielsweise ist ${\displaystyle {\hat {G}}\left(r\right)\sim e^{-{\frac {r}{\xi }}}}$ invariant unter den (gleichzeitigen) Transformationen ${\displaystyle r\rightarrow {\frac {r}{L}}}$ und ${\displaystyle \xi \rightarrow {\frac {\xi }{L}}}$, was wir umgekehrt auch als ${\displaystyle r\sim \xi \sim L}$ deuten werden. Setzen wir hierin ${\displaystyle L=\left|t\right|^{-{\frac {1}{\Delta _{t}}}}}$, dann erhalten wir über ${\displaystyle \xi \sim L=\left|t\right|^{-{\frac {1}{\Delta _{t}}}}\sim \left|t\right|^{-\nu }}$ den kritischen Exponenten ${\displaystyle \nu ={\frac {1}{\Delta _{t}}}}$.

Die freie Enthalpie ist eine extensive Größe, d.h. ${\displaystyle g\propto V\propto L^{d}}$, weshalb wir folgenden Ansatz wagen:

${\displaystyle g\left(t,h\right)={\frac {1}{L^{d}}}g\left(tL^{\Delta _{t}},\,hL^{\Delta _{h}}\right)={\frac {1}{L^{d}}}g\left(x,\,y\right)}$,

wobei wir fortan ${\displaystyle t={\frac {T-T_{C}}{T_{C}}}}$ definieren möchten, sodass ${\displaystyle {\underset {T\rightarrow T_{C}}{\lim }}\left|t\right|\ll 1}$.

Setzen wir ${\displaystyle L=\left|t\right|^{-{\frac {1}{\Delta _{t}}}}}$, dann erhalten wir aus unserem Ansatz

${\displaystyle g\left(t,h\right)=\left|t\right|^{\frac {d}{\Delta _{t}}}g\left(\pm 1,\,h\left|t\right|^{-{\frac {\Delta _{h}}{\Delta _{t}}}}\right)}$.

Für die Wärmekapazität resultiert hieraus wegen

${\displaystyle \left|t\right|^{-\alpha }\sim c=T{\frac {\partial S}{\partial T}}=-T{\frac {\partial ^{2}g}{\partial T^{2}}}{\underset {t\rightarrow 0,\,T\approx T_{C}}{\sim }}\left|t\right|^{{\frac {d}{\Delta _{t}}}-2}}$

der kritische Exponent ${\displaystyle \alpha =2-{\frac {d}{\Delta _{t}}}}$.

Außerdem berechnen wir z.B. wie bei der Magnetisierung eines Ferrormagneten m wie folgt aus der freien Enthalpie:

${\displaystyle m=-{\frac {\partial g}{\partial h}}=L^{\Delta _{h}-d}\left(\partial _{y}g\right)\left(tL^{\Delta _{t}},\,hL^{\Delta _{h}}\right)}$.

Hierin setzen wir zunächst ${\displaystyle L=\left|h\right|^{-{\frac {1}{\Delta _{h}}}}}$, woraus

${\displaystyle m=\left|h\right|^{\frac {d-\Delta _{h}}{\Delta _{h}}}\left(\partial _{y}g\right)\left(t\left|h\right|^{-{\frac {\Delta _{t}}{\Delta _{h}}}},\,\pm 1\right)\sim \left|h\right|^{\frac {1}{\delta }}}$

mit ${\displaystyle \delta ={\frac {\Delta _{h}}{d-\Delta _{h}}}}$ resultiert. Dann setzen wir in die Gleichung für m ${\displaystyle L=\left|t\right|^{-{\frac {1}{\Delta _{t}}}}}$, sodass sich

${\displaystyle m=\left|t\right|^{\frac {d-\Delta _{h}}{\Delta _{t}}}\left(\partial _{y}g\right)\left(\pm 1,\,h\left|t\right|^{-{\frac {\Delta _{h}}{\Delta _{t}}}}\right)\sim \left|h\right|^{\beta }}$

mit ${\displaystyle \beta ={\frac {d-\Delta _{h}}{\Delta _{t}}}}$ ergibt. Aus den Gleichungen für ${\displaystyle \beta }$ und ${\displaystyle \delta }$ lässt sich das Verhältnis ${\displaystyle {\frac {\Delta _{t}}{\Delta _{h}}}={\frac {1}{\beta \delta }}}$ berechnen, das sich z.B. in die erstere der beiden Gleichungen für m einsetzen lässt:

${\displaystyle m=\left|h\right|^{\frac {1}{\delta }}\left(\partial _{y}g\right)\left(t\left|h\right|^{-{\frac {1}{\beta \delta }}},\,\pm 1\right)}$.

Die Suszeptibilität

${\displaystyle \chi =\left({\frac {\partial m}{\partial h}}\right)=-{\frac {\partial ^{2}g}{\partial h^{2}}}=-L^{2\Delta _{h}-d}\left(\partial _{y}^{2}g\right)\left(tL^{\Delta _{t}},\,hL^{\Delta _{h}}\right)}$

liefert mit ${\displaystyle L=\left|t\right|^{-{\frac {1}{\Delta _{t}}}}}$ über

${\displaystyle \chi =-\left|t\right|^{\frac {d-2\Delta _{h}}{\Delta _{t}}}\left(\partial _{y}^{2}g\right)\left(\pm 1,\,\left|t\right|^{-{\frac {\Delta _{h}}{\Delta _{t}}}}\right)\sim \left|t\right|^{-\gamma }}$

den kritischen Exponenten ${\displaystyle \gamma =2{\frac {\Delta _{h}}{\Delta _{t}}}-{\frac {d}{\Delta _{t}}}}$. Aus ${\displaystyle \nu ={\frac {1}{\Delta _{t}}}}$ erhalten wir zum einen eine neue Gleichung für Alpha, ${\displaystyle \alpha =2-{\frac {d}{\Delta _{t}}}=\alpha =2-\nu d}$, was bereits die Hyperskalenrelation ist, und zum andern mittels ${\displaystyle {\frac {\Delta _{t}}{\Delta _{h}}}={\frac {1}{\beta \delta }}}$ eine neue Gleichung für Gamma: ${\displaystyle \gamma =2{\frac {\Delta _{h}}{\Delta _{t}}}-{\frac {d}{\Delta _{t}}}=2\beta \delta -\nu d}$. Die Gleichung ${\displaystyle \delta ={\frac {\Delta _{h}}{d-\Delta _{h}}}}$ lässt sich sehr einfach nach ${\displaystyle \Delta _{h}}$ auflösen, was ${\displaystyle \Delta _{h}={\frac {\delta d}{1+\delta }}}$ ergibt. Dieses Resultat kann wiederum in die Gleichung für Beta eingesetzt und nach ${\displaystyle \Delta _{t}}$ aufgelöst werden: ${\displaystyle \Delta _{t}={\frac {d-\Delta _{h}}{\beta }}={\frac {d}{\beta \left(1+\delta \right)}}}$. Setzen wir wiederum diese Gleichung für ${\displaystyle \Delta _{t}}$ in die ursprüngliche für Alpha ein, dann ergibt sich ${\displaystyle \alpha =2-{\frac {d}{\Delta _{t}}}=\alpha =2-\beta -\beta \delta }$. Letztere Gleichung können wir aber verwenden, um in der neuen Gleichung für Gamma den Term mit ${\displaystyle \beta \delta }$ zu ersetzen, woraus schließlich die Skalenrelation ${\displaystyle \alpha +2\beta +\gamma =2}$ resultiert.

Mit Hilfe von ${\displaystyle \chi \sim \left|t\right|^{-\gamma }}$ , ${\displaystyle V\sim \xi ^{d}}$, ${\displaystyle \xi \sim \left|t\right|^{-\nu }}$, ${\displaystyle m\sim \left|t\right|^{\beta }}$ und des Ginzburg-Kriteriums,

${\displaystyle \left|t\right|^{-\gamma +\nu d}\sim \xi ^{-d}\left|t\right|^{-\gamma }\sim {\frac {\chi k_{B}T_{C}}{V}}=\left\langle \left(\Delta m\right)^{2}\right\rangle \ll m_{0}^{2}\sim \left|t\right|^{2\beta }}$,

bzw.

${\displaystyle R\left|t\right|^{-\gamma +\nu d-2\beta }\ll 1}$,

worin R eine systemabhängige Reichweite der Wechselwirkung sei, lässt sich eine sog. »obere kritische Dimension« einführen, ab der die Landau-Theorie richtig wird. Denn mit den Werten dieser Theorie für die kritischen Exponenten ${\displaystyle \gamma =1}$ und ${\displaystyle \nu =\beta ={\frac {1}{2}}}$ ergibt sich für ${\displaystyle \left|t\right|\ll 1}$, dass dann ${\displaystyle {\frac {d}{2}}-2>0}$ d.h. ${\displaystyle d=4}$ gelten muss. Umgekehrt kann es auch eine sog. »untere kritische Dimension« geben, bei der der Phasenübergang durch Fluktuationen unterdrückt wird.