Mathematische Ergänzungen: Hyperbelfunktionen

Es werden oft unterschiedliche Grenzfälle betrachtet, bei denen Hyperbelfunktionen genähert werden müssen. Daher wiederholen wir hier kurz deren Grenzwertverhalten und verwenden dabei insbesondere ${\displaystyle e^{\pm x}{\underset {x\ll 1}{\sim }}1\pm x+{\frac {1}{2}}x^{2}\pm {\frac {1}{3!}}x^{3}}$.

${\displaystyle \sinh x={\frac {1}{2}}\left(e^{x}-e^{-x}\right){\underset {x\ll 1}{\sim }}x-{\frac {1}{3!}}x^{3}}$

${\displaystyle \sinh x={\frac {1}{2}}\left(e^{x}-e^{-x}\right){\underset {x\gg 1}{\sim }}{\frac {1}{2}}e^{x}}$

${\displaystyle \cosh x={\frac {1}{2}}\left(e^{x}+e^{-x}\right){\underset {x\ll 1}{\sim }}1+{\frac {1}{2}}x^{2}}$

${\displaystyle \cosh x={\frac {1}{2}}\left(e^{x}+e^{-x}\right){\underset {x\gg 1}{\sim }}{\frac {1}{2}}e^{x}}$

Hieraus folgt für den Tangenshyperbolicus:

${\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}{\underset {x\ll 1}{\sim }}{\frac {x-{\frac {1}{3!}}x^{3}}{1+{\frac {1}{2}}x^{2}}}\approx \left(x-{\frac {1}{3!}}x^{3}\right)\left(1-{\frac {1}{2}}x^{2}\right)\approx x-{\frac {1}{3}}x^{3}}$

${\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}{\underset {x\gg 1}{\sim }}1}$

und somit für den Kotangenshyperbolicus:

${\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}{\underset {x\ll 1}{\sim }}{\frac {1}{x\left(1-{\frac {1}{3}}x^{2}\right)}}\approx {\frac {1}{x}}\left(1+{\frac {1}{3}}x^{2}\right)={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}}$

Wegen der Definition der Hyperbelfunktionen gilt außerdem noch

${\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1}$,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}}$.