== Erwartungswert ==

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1. Bekannte Verteilung und Varianz

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Im einführenden Beispiel war die Art der Verteilung des Merkmals in der Grundgesamtheit bekannt, namentlich eine Normalverteilung mit bekannter Varianz. Die Prüfgröße

${\displaystyle z={\frac {{\bar {x}}-\mu _{0}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}}$

ist dann unter der Nulhypothese μ = μ₀ standardnormalverteilt. Wir erhalten die Entscheidungsregeln für eine gewählte Irrtumswahrscheinlichkeit α

• Ho: μ = μ₀ wird abgelehnt, falls z < - z(1-α/2) oder z > z(1-a/2) ist.
• Ho: μ ≤ μ₀ wird abgelehnt, falls z > z(1-α) ist.
• Ho: μ ≥ μ₀ wird abgelehnt, falls z < - z(1-α) ist.

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2. Bekannte Verteilung und unbekannte Varianz

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Häufig wird neben dem Erwartungswert die Varianz ebenfalls nicht bekannt sein, so dass man statt der Varianz in der Grundgesamtheit die Schätzung

${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}=s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}$

verwendet. Wir erhalten nun bei normalverteilter Grundgesamtheit statt z die Prüfgröße

${\displaystyle t={\frac {{\bar {x}}-\mu _{0}}{\frac {s}{\sqrt {n}}}}\,,}$

die t-verteilt mit n-1 Freiheitsgraden ist.

Die t-Verteilung hat eine ähnliche Form wie die Normalverteilung. In der hier betrachteten Art (zentrale t-Verteilung) ist sie ebenfalls symmetrisch bezüglich der Null. Da sie verschiedene Freiheitsgrade hat, ist sie nur für ausgewählte Quantile tabelliert. Es ist t(p;k) das p-Quantil der t-Verteilung mit k Freiheitsgraden.

Es gilt beispielsweise für die Zufallsavariable t mit 5 Freiheitsgraden:

${\displaystyle P(t\leq 3,365)=0,99}$ bzw. ${\displaystyle t(0,99;5)=3,365}$.

Wir erhalten die Entscheidungsregeln

• H: μ = μ₀ wird abgelehnt, falls t < - t(1-α/2; n - 1) oder t > t(1-α/2; n - 1) ist.
• H: μ ≤μ₀ wird abgelehnt, falls t > t(1-α; n - 1) ist.
• H: μ ≥ μ₀ wird abgelehnt, falls t < - t(1-α; n - 1) ist.

Ist n > 30, können die Quantile der t-Verteilung durch die entsprechenden Quantile der Normalverteilung ersetzt werden.

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3. Unbekannte Verteilung und bekannte Varianz

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Ist die Verteilung des Merkmals X unbekannt, aber die Varianz varX bekannt, verwendet man bei einem n > 30 die standardnormalverteilte Prüfgröße

${\displaystyle z={\frac {{\bar {x}}-\mu _{0}}{\frac {\sqrt {varX}}{\sqrt {n}}}}}$

Wir erhalten die Entscheidungsregeln analog zu 1.

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4. Unbekannte Verteilung und unbekannte Varianz

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Sind Verteilung und Varianz des Merkmals X in der Grundgesamtheit unbekannt, verwendet man für n > 50 die standardnormalverteilte Prüfgröße

${\displaystyle z={\frac {{\bar {x}}-\mu _{0}}{\frac {s}{\sqrt {n}}}}}$

Wir verwenden die Entscheidungsregeln analog zu 1.