Allgemein

Von Anfang an relativistische Wellengleichungen waren die Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik. Später durchsuchte die Physik systematisch, mit welchen anderen Typen von Wertebereichen die Wellen sich relativistisch transformieren können: Skalare (Klein-Gordon), Spinoren (Dirac), Vektoren (Maxwell), Tensoren (Einstein).

Natürliche Einheiten HBAR=1 C=1
Gut gewählte Einheiten in der relativistischen Physik ersparen Schreibarbeit.
Zwei nun jahrhundertealte Prinzipien der Natur sind in Stein gemeißelt.

• In allen Intertialsystemen ist die maximale Geschwindigkeit gleich c.
• Für alle Wellen, Teilchen, Energien, Längendimensionen gilt die Planck-Einstein-DeBroglie-Beziehung ${\displaystyle (E=\hbar \omega$ ;\;{\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}).}

Daher kann die Zeit in Metern als eine Länge (ct) gemessen werden. Auch die Einheit der Masse ist nicht unabhängig, Energie und Impuls haben Werte gemessen in Wirkungsquantum durch (Zeit,Länge). In natürlichen Einheiten ${\displaystyle \hbar =c=1}$ braucht man nur noch das Meter als Bezugsgröße. Oder gleichwertig bei Bedarf das Elektronenvolt. Die Werte der zwei Naturkonstanten in legalen Einheiten wurden endgültig festgenagelt. Das SI-System hat sich nach ihnen zu kalibrieren.

• c = 299 792 458 m/s
• ${\displaystyle 2\pi \hbar =h=}$ 6,62607015 × 10³⁴ Joule-sek

Übrigens sind alle SI-Einheiten nun physikalisch untermauert, keine hängt von handgemachten Museumsstücken ab.

Die Klein-Gordon-Gleichung

Die Klein Gordon Gleichung ist ein Versuch eine zur Schrödinger-Gleichung äquivalente Formulierung für die Relativistische Quantenmechanik zu finden.

Zunächst noch einmal die Schrödinger Gleichung:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi (x)}{\partial t}}={\frac {1}{2m}}\left({\frac {\hbar }{i}}\nabla \right)^{2}\psi (x)}$

Es gilt:

${\displaystyle E=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}}$ sowie ${\displaystyle {\vec {p}}={\frac {\hbar }{i}}\nabla }$

Im relativistischen Fall verwendet man Vierervektoren:

${\displaystyle p^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-\nabla \right)=i\hbar \partial ^{\mu }}$

Des Weiteren gilt:

${\displaystyle E^{2}=m^{2}c^{4}+{\vec {p}}^{2}c^{2}}$

Daraus folgt:

${\displaystyle {\frac {E^{2}}{c^{2}}}=\left(i\hbar {\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}=m^{2}c^{2}+{\vec {p}}^{2}=m^{2}c^{2}+\left(i\hbar \nabla \right)^{2}}$

Angewandt auf die Wellenfunktion ergibt sich:

${\displaystyle -\hbar ^{2}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (x)=m^{2}c^{2}\psi (x)-\hbar ^{2}\nabla ^{2}\psi (x)}$

${\displaystyle 0=\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\psi }$

Dies ist die Klein-Gordon-Gleichung ausgedrückt mit dem D'Alembert-Operator lautet sie wie folgt:

${\displaystyle 0=\left(\square +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right)\psi }$

mit der Compton Wellenlänge: ${\displaystyle {\frac {\hbar }{mc}}}$ ergibt sich:

${\displaystyle 0=\left(\square +\left({\frac {1}{\lambda }}\right)^{2}\right)\psi }$

Die Dirac-Gleichung

In der nichtrelativistischen Quantenmechanik wird die Theorie des Elektrons mit 2 Komponenten behandelt, in der Relativistischen Quantenmechanik benötigen wir einen N-Komponenten-Spinor:

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{1}(x)\\\psi _{2}(x)\\.\\.\\.\\\psi _{N}(x)\\\end{pmatrix}}}$

Wir suchen nun eine, analog zur Schrödingergleichung und im Gegensatz zur Klein-Gordon-Gleichung, Wellengleichung erster Ordnung, der Form: ${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =H_{D}\psi }$ ${\displaystyle H_{D}}$ muss hierbei ein hermitescher Operator sein, ausserdem besteht in der Relativistik eine bestimmte Symmetrie zwischen Zeit und Raum, dehalb muss der Hamilton-Operator eine Ableitung nach ${\displaystyle {\vec {x}}}$ besitzen, da auf der linken Seite eine Ableitung nach t steht. Damit hat man den Ansatz:

${\displaystyle H_{D}={\vec {\alpha }}\cdot {\vec {p}}-\beta m}$ mit ${\displaystyle {\vec {p}}=i\nabla }$

Hierbei sind ${\displaystyle \alpha _{x},\alpha _{y},\alpha _{z}}$ und ${\displaystyle \beta }$ hermitesche Operatoren im "Spinorraum". Damit ergibt sich:

${\displaystyle \left(\mathbf {1} i{\frac {\partial }{\partial t}}-{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {p}}-\beta m\right)\psi ({\vec {x}},t)=0}$ (1)

Wenn:

${\displaystyle \alpha ^{0}=\beta ,\{\alpha ^{\mu },\alpha ^{\nu }\}=0}$ für ${\displaystyle \mu \neq 0}$ und

${\displaystyle \alpha ^{0}\alpha ^{0}=\alpha ^{1}\alpha ^{1}=\alpha ^{2}\alpha ^{2}=\alpha ^{3}\alpha ^{3}=1}$

ergibt sich:

${\displaystyle \mathbf {1} \left(\left(i{\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}-\vert {\vec {p}}\vert ^{2}-m^{2}\right)\psi =0}$

Gleichung (1) wird nun von links mit ${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {p}}+\beta m}$ multipliziert:

${\displaystyle \left[\left(i{\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}-\sum _{k}\left(\alpha ^{k}\right)^{2}\left(p^{k}\right)^{2}-\beta ^{2}m^{2}-\sum _{k<l}\{\alpha ^{k},\alpha ^{l}\}p^{k}p^{l}-\sum _{k}\{\alpha ^{k},\beta \}mp^{k}\right]\psi =0}$

Mit:

${\displaystyle \{\alpha ^{k},\alpha ^{l}\}=0,\{\alpha ^{k},\beta \}=0,\left(\alpha ^{k}\right)^{2}=1,\beta ^{2}=1}$

ergibt sich die Dirac-Gleichung:

${\displaystyle \left[\left(i{\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}-\sum _{k}\left(p^{k}\right)^{2}-m^{2}\right]\psi =0}$

Es wird vorausgesetzt, dass es ${\displaystyle {\vec {\alpha }}}$ und ${\displaystyle \beta }$ gibt, die diese Eigenschaften erfüllen, dies ist der Fall für eine Dimension des "Spinorraums" ${\displaystyle N\geq 4}$. Üblicherweise ist ${\displaystyle N=4}$.

In elektromagnetischen Feldern gilt die Transformation ${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\rightarrow i{\frac {\partial }{\partial t}}-e\phi }$ und ${\displaystyle {\vec {p}}\rightarrow {\vec {p}}-e{\vec {A}}}$

Für die kovariante Schreibweise verwenden wir die Gamma-Matrizen:

${\displaystyle \gamma ^{\mu }:=(\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}),\gamma ^{0}:=\beta ,\gamma ^{n}:=\beta \alpha ^{n}}$ und ${\displaystyle D_{\mu }:=\partial _{m}u+ieA_{m}u}$

Damit:

${\displaystyle \left(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-1m\right)\psi =0}$

Und mit ${\displaystyle {\mathcal {D}}:=\gamma ^{\mu }D_{\mu }}$ dann die Feynman-Schreibweise:

${\displaystyle \left(i{\mathcal {D}}-1m\right)\psi =0}$