Einleitung

In diesem Kapitel geht es um die Verteilung der Primzahlen

Die abzählbare Unendlichkeit

Wie im II. Kapitel: Die Unendlichkeit der Primzahlen gezeigt, bilden die Primzahlen eine abzählbar unendliche Teilmenge der Natürlichen Zahlen. Die Menge ${\displaystyle P}$ der Primzahlen lässt sich also abzählen:

${\displaystyle P=\{p_{1},p_{2},p_{3},\ldots \}.}$

Eine mögliche Zuordnung wäre:

${\displaystyle p_{1}=2,\ p_{2}=3,\ p_{3}=5,\ p_{4}=7,\ p_{5}=11,\ p_{6}=13,\ p_{7}=17,\ \ldots }$

Die Primzahl-Funktion

Es gibt eine Funktion ${\displaystyle \pi (n)}$, die die Anzahl aller Primzahlen von 2 bis zu einer vorgegebenen Grenze zurückliefert. So gibt es zwischen 2 und 100 25 Primzahlen, und demzufolge ist ${\displaystyle \pi (100)=25}$. Aber wie läßt sich ${\displaystyle \pi (n)}$ berechnen?

Mindestens so: ${\displaystyle \pi (n+1)=\pi (n)}$ falls ${\displaystyle n+1}$ keine Primzahl ist und ${\displaystyle \pi (n+1)=\pi (n)+1}$ falls ${\displaystyle n+1}$ Primzahl

• Beispiel

Der Primzahlsatz

Der Primzahlsatz besagt wie sich die Primzahl-Funktion asymptotisch verhält. Es zeigt sich dass ${\displaystyle \pi (n)}$ sich asymptotisch verhält wie die Funktion ${\displaystyle n/{\ln(n)}}$, d.h. die Funktionen ${\displaystyle \pi (n)}$ und ${\displaystyle n/{\ln(n)}}$ sind asymptotisch äquivalent. Formel:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\pi (n)}{\frac {n}{\ln(n)}}}=1.}$