Verbesserungsversuche

Es ist, wie schon im vorigen Abschnitt angedeutet, naheliegend, die Forderung der Existenz von Elementen ${\displaystyle \alpha }$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle a(\alpha )}$ explizit in die Definition von ${\displaystyle Aab}$ mit aufzunehmen. Da ${\displaystyle Oab}$ die Negation von ${\displaystyle Aab}$ sein soll, ergibt sich nun das folgende modifizierte Schema:

Urteil		Definition
${\displaystyle Aab}$	:=	${\displaystyle \forall \alpha (a(\alpha )\Rightarrow b(\alpha ))\wedge \exists \alpha (a(\alpha ))}$
${\displaystyle Eab}$	:=	${\displaystyle \neg \exists \alpha (a(\alpha )\wedge b(\alpha ))}$
${\displaystyle Iab}$	:=	${\displaystyle \exists \alpha (a(\alpha )\wedge b(\alpha ))}$
${\displaystyle Oab}$	:=	${\displaystyle \neg \forall \alpha (a(\alpha )\Rightarrow b(\alpha ))\vee \nexists \alpha (a(\alpha ))}$

Mit Hilfe des Kalküls der Prädikatenlogik lässt sich nun die Formel ${\displaystyle Iab}$ aus der Formel ${\displaystyle Aab}$ herleiten (das war ja auch der Sinn der Übung!):

(Die folgende Tabelle ist noch nicht fertig!)

Zeile	Aussage	Regel	angewendet auf	Abhängigkeit(en)
1	${\displaystyle \forall \alpha (a(\alpha )\Rightarrow b(\alpha ))\wedge \exists \alpha (a(\alpha ))}$	Annahme
2	${\displaystyle \forall \alpha (a(\alpha )\Rightarrow b(\alpha ))}$		1
3	${\displaystyle \exists \alpha (a(\alpha ))}$	Annahme
4	${\displaystyle a(u)}$		3
5	${\displaystyle a(u)\Rightarrow b(u)}$		2
6	${\displaystyle b(u)}$		4,5
7	${\displaystyle b(u)\wedge a(u)}$		4,6
8	${\displaystyle \exists \alpha (a(\alpha )\wedge b(\alpha ))}$		7