Aus der Elektrodynamik folgt die Elektrostatik über die Forderung

${\displaystyle \partial _{t}{\vec {E}}=\partial _{t}{\vec {B}}=\partial _{t}{\vec {D}}=0}$,

wodurch sich die (makroskopischen) Maxwellgleichungen wie folgt vereinfachen:

• ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0}$ (keine magnet. Monopole),

• ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=4\pi \rho }$ (woraus u.a.

auch das Coulomb-Gesetz folgt),

• ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}}$

(Ampère'sches Durchflutungsgesetz) und

• ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=0}$ (rotationsfreies elektrisches

Feld).

Aus diesen Grundgleichungen werden wir in den nächsten Kapiteln die Gesetze der Elektrostatik herleiten.

Kontinuitätsgleichung

Die Kontinuitätsgleichung nimmt wegen des Ampère'schen Durchflutungsgesetzes die folgende Form an

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}={\frac {c}{4\pi }}{\vec {\nabla }}\cdot \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}\right)=0}$

wegen ${\displaystyle div\,rot\equiv 0}$.

Elektromagnetische Potentiale

(1) Ein skalares Potential können wir folgendermaßen einführen:

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=0,rot\,grad\equiv 0\;\Rightarrow {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}A_{0}}$.

Die Konsequenzen hieraus sind die Wegunabhängigkeit für Kurvenintegrale über das elektrische Feld, der Begriff der Spannung bzw. der Potentialdifferenz sowie die Möglichkeit, das Skalarpotential angeben zu können. Dies alles zeigen wir unter den folgenden beiden Punkten (a) und (b)

(a) Die Wegunabhängigkeit:

Fig: ${\displaystyle C_{1}}$: Weg von ${\displaystyle {\vec {x}}_{A}}$ nach ${\displaystyle {\vec {x}}_{B}}$; ${\displaystyle C_{2}}$: Weg von ${\displaystyle {\vec {x}}_{B}}$ nach ${\displaystyle {\vec {x}}_{A}}$

Aus ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=0}$ folgt mit dem Satz von Stokes:

${\displaystyle 0={\underset {A}{\int }}d{\vec {a}}\cdot \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\right)={\underset {C=\partial A=C_{1}+C_{2}}{\int }}d{\vec {x}}\cdot {\vec {E}}={\underset {C_{1}}{\int }}d{\vec {x}}\cdot {\vec {E}}+{\underset {C_{2}}{\int }}d{\vec {x}}\cdot {\vec {E}}\;\Rightarrow }$

${\displaystyle {\underset {C_{1}}{\int }}d{\vec {x}}\cdot {\vec {E}}=-{\underset {C_{2}}{\int }}d{\vec {x}}\cdot {\vec {E}}={\underset {-C_{2}}{\int }}d{\vec {x}}\cdot {\vec {E}}}$,

obwohl ${\displaystyle C_{1}\neq -C_{2}}$ .

Es gibt daher eine Spannung zwischen ${\displaystyle {\vec {x}}_{A}}$ und ${\displaystyle {\vec {x}}_{B}}$ :

${\displaystyle U=-{\underset {C_{1}}{\int }}d{\vec {x}}\cdot {\vec {E}}={\underset {C_{1}}{\int }}d{\vec {x}}\cdot {\vec {\nabla }}A_{0}=A_{0}\left({\vec {x}}_{B}\right)-A_{0}\left({\vec {x}}_{A}\right)}$,

eine sog. Potenzialdifferenz, die mit der potentielle Energie für eine Punktladung q wie folgt zusammenhängt:

${\displaystyle E_{pot}\left({\vec {x}}_{B}\right)-E_{pot}\left({\vec {x}}_{A}\right)=-{\underset {C_{1}}{\int }}d{\vec {x}}\cdot {\vec {F}}=}$

${\displaystyle -{\underset {C_{1}}{\int }}d{\vec {x}}\cdot q{\vec {E}}=qU=q\left(A_{0}\left({\vec {x}}_{B}\right)-A_{0}\left({\vec {x}}_{A}\right)\right)\;\Rightarrow }$

${\displaystyle E_{pot}=qA_{0}}$.

(b) Bestimmen von ${\displaystyle A_{0}}$:

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=4\pi \rho }$, isotrope Dielektrika: ${\displaystyle {\vec {D}}=\varepsilon {\vec {E}},{\vec {\nabla }}^{2}{\frac {1}{r}}=-4\pi \,\delta ^{3}\left({\vec {r}}\right)}$.

${\displaystyle -{\vec {\nabla }}^{2}A_{0}\left({\vec {x}}\right)={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)={\frac {4\pi }{\varepsilon }}\rho \left({\vec {x}}\right)={\frac {4\pi }{\varepsilon }}\int d^{3}x^{\prime }\,\rho \left({\vec {x}}^{\prime }\right)\delta ^{3}\left({\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right)}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\varepsilon }}\int d^{3}x^{\prime }\,\rho \left({\vec {x}}^{\prime }\right){\vec {\nabla }}^{2}{\frac {1}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}={\vec {\nabla }}^{2}{\frac {1}{\varepsilon }}\int d^{3}x^{\prime }\,{\frac {\rho \left({\vec {x}}^{\prime }\right)}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}}$,

${\displaystyle A_{0}\left({\vec {x}}\right)={\frac {1}{\varepsilon }}\int d^{3}x^{\prime }\,{\frac {\rho \left({\vec {x}}^{\prime }\right)}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}}$.

Für das Beispiel einer Punktladung, d.h.

${\displaystyle \rho \left({\vec {x}}^{\prime }\right)=q\delta ^{3}\left({\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right)}$,

erhalten wir

${\displaystyle A_{0}\left({\vec {x}}\right)={\frac {q}{\varepsilon r}},\;{\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}A_{0}\left({\vec {x}}\right)={\frac {q}{\varepsilon }}{\frac {\vec {x}}{r^{3}}}}$,

also das berühmte Coulomb-Feld.

(2) Ein Vektorpotential resultiert aus der Gleichung

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0,div\,rot\equiv 0\;\Rightarrow {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}}$.

Mit Hilfe des Ampère'schen Durchflutungsgesetztes

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}}$,

und unter der Annahme isotroper Magnetika, d.h. ${\displaystyle {\vec {B}}=\mu {\vec {H}}}$,

erhalten wir über die Greensfunktion ${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$ der Elektrostatik, für die

${\displaystyle {\vec {\nabla }}^{2}{\frac {1}{r}}=-4\pi \,\delta ^{3}\left({\vec {r}}\right)}$

gilt, folgende Bestimmungsgleichung für das Vektorpotential:

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}\right)-{\vec {\nabla }}^{2}{\vec {A}}={\vec {\nabla }}\times \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}\right)={\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {4\pi \mu }{c}}{\vec {J}}}$.

In Coulomb-Eichung, d.h. ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}=0}$, wird hieraus

${\displaystyle {\vec {\nabla }}^{2}{\vec {A}}\left({\vec {x}}\right)=-{\frac {4\pi \mu }{c}}{\vec {J}}\left({\vec {x}}\right)=-{\frac {4\pi \mu }{c}}\int d^{3}x^{\prime }\,{\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)\delta ^{3}\left({\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right)}$

${\displaystyle ={\frac {\mu }{c}}\int d^{3}x^{\prime }\,{\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right){\vec {\nabla }}^{2}{\frac {1}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}={\vec {\nabla }}^{2}{\frac {\mu }{c}}\int d^{3}x^{\prime }\,{\frac {{\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}}$,

woraus für das Vektorpotential

${\displaystyle {\vec {A}}\left({\vec {x}}\right)={\frac {\mu }{c}}\int d^{3}x^{\prime }\,{\frac {{\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}}$

folgt.

Poisson-Gleichung

Die Lösung der Poisson-Gleichung,

${\displaystyle {\vec {\nabla }}^{2}A_{0}\left({\vec {x}}\right)=-4\pi \rho \left({\vec {x}}\right)}$,

wird erst durch die an sie gestellten Randbedingungen eindeutig.

Zunächst aber ein kleiner mathematischer Exkurs über die Sätze von Green.

Aus dem Satz von Gauß ergibt sich der Satz I von Green:

${\displaystyle {\underset {V}{\int }}d^{3}x\,\left(\phi {\vec {\nabla }}^{2}\psi +\left({\vec {\nabla }}\phi \right)\cdot \left({\vec {\nabla }}\psi \right)\right)={\underset {V}{\int }}d^{3}x\,{\vec {\nabla }}\cdot \left(\phi {\vec {\nabla }}\psi \right)={\underset {S=\partial V}{\int }}d^{2}a\,\phi {\vec {n}}\cdot {\vec {\nabla }}\psi }$

und hieraus resultiert wiederum der Satz II von Green:

${\displaystyle {\underset {V}{\int }}d^{3}x\left(\phi {\vec {\nabla }}^{2}\psi -\psi {\vec {\nabla }}^{2}\phi \right)={\underset {S=\partial V}{\int }}d^{2}a\left(\phi {\vec {n}}\cdot {\vec {\nabla }}\psi -\psi {\vec {n}}\cdot {\vec {\nabla }}\phi \right)}$.

Setze jetzt in Green II ${\displaystyle \phi =A_{0}}$, ${\displaystyle \psi ={\frac {1}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}}$ ein und verwende ${\displaystyle {\vec {\nabla }}^{2}{\frac {1}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}=-4\pi \delta ^{3}\left({\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right)}$:

${\displaystyle A_{0}\left({\vec {x}}\right)={\underset {V}{\int }}d^{3}x^{\prime }\,{\frac {\rho \left({\vec {x}}^{\prime }\right)}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}+{\frac {1}{4\pi }}{\underset {S=\partial V}{\int }}d^{2}a^{\prime }\,{\frac {{\vec {n}}^{\prime }\cdot {\vec {\nabla }}^{\prime }A_{0}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}-{\frac {1}{4\pi }}{\underset {S=\partial V}{\int }}d^{2}a^{\prime }\,A_{0}\left({\vec {x}}^{\prime }\right){\vec {n}}^{\prime }\cdot {\vec {\nabla }}^{\prime }{\frac {1}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}}$.

Als Green'sche Funktion erhalten wir hieraus:

${\displaystyle G\left({\vec {x}},{\vec {x}}^{\prime }\right)={\frac {1}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}+F\left({\vec {x}},{\vec {x}}^{\prime }\right)}$,

${\displaystyle {\vec {\nabla }}^{2}F\left({\vec {x}},{\vec {x}}^{\prime }\right)=0,}$

für die

${\displaystyle {\vec {\nabla }}^{2}G\left({\vec {x}},{\vec {x}}^{\prime }\right)={\vec {\nabla }}^{2}G\left({\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right)=-4\pi \delta ^{3}\left({\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right)}$

gilt, d.h.

${\displaystyle A_{0}\left({\vec {x}}\right)={\underset {V}{\int }}d^{3}x^{\prime }\,{\frac {\rho \left({\vec {x}}^{\prime }\right)}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}+{\frac {1}{4\pi }}{\underset {S=\partial V}{\int }}d^{2}a^{\prime }\,G\left({\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right){\vec {n}}^{\prime }\cdot {\vec {\nabla }}^{\prime }A_{0}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)}$

${\displaystyle -{\frac {1}{4\pi }}{\underset {S=\partial V}{\int }}d^{2}a^{\prime }\,A_{0}\left({\vec {x}}^{\prime }\right){\vec {n}}^{\prime }\cdot {\vec {\nabla }}^{\prime }G\left({\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right)}$.

Es können folgende Arten der Randbedingungen unterschieden werden:

(a) Dirichlet'sche Randbedingungen: ${\displaystyle G\left({\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right)=0}$ für ${\displaystyle {\vec {x}}^{\prime }\in S}$ sowie

(b) Neumann'sche Randbedingungen: für ein ${\displaystyle {\vec {x}}\in V}$ gilt mit dem Gauß'schen Satz

${\displaystyle -4\pi =-4\pi {\underset {V}{\int }}d^{3}x^{\prime }\,\delta ^{3}\left({\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right)={\underset {V}{\int }}d^{3}x^{\prime }\,G\left({\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right)=\underbrace {{\underset {S=\partial V}{\int }}d^{2}a^{\prime }} _{=A}\,{\vec {n}}^{\prime }\cdot {\vec {\nabla }}^{\prime }G\left({\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right)\;\Rightarrow }$

${\displaystyle {\vec {n}}^{\prime }\cdot {\vec {\nabla }}^{\prime }G\left({\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right)=-{\frac {4\pi }{A}}{\underset {S=\partial \mathbb {R} ^{3}:\,A\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}0}$ für ein ${\displaystyle {\vec {x}}^{\prime }\in S}$ .

Über die Green'sche Funktion können u.a. die folgenden beiden Aussagen getroffen werden.

• Die Green'sche Funktion ist in ihren Argumenten symmetrisch, d.h.

${\displaystyle G\left({\vec {x}},{\vec {x}}^{\prime }\right)=G\left({\vec {x}}^{\prime },{\vec {x}}\right)}$:

${\displaystyle -4\pi \left(G\left({\vec {x}},{\vec {x}}^{\prime }\right)-G\left({\vec {x}}^{\prime },{\vec {x}}\right)\right)={\underset {V}{\int }}d^{3}y\,\left[G\left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)\underbrace {\left(-4\pi \delta ^{3}\left({\vec {x}}^{\prime }-{\vec {y}}\right)\right)} _{={\vec {\nabla }}_{\vec {y}}^{2}G\left({\vec {x}}^{\prime },{\vec {y}}\right)}-G\left({\vec {x}}^{\prime },{\vec {y}}\right)\underbrace {\left(-4\pi \delta ^{3}\left({\vec {x}}-{\vec {y}}\right)\right)} _{={\vec {\nabla }}_{\vec {y}}^{2}G\left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)}\right]}$

${\displaystyle ={\underset {V}{\int }}d^{3}y\,\left[G\left({\vec {x}},{\vec {y}}\right){\vec {\nabla }}_{\vec {y}}^{2}G\left({\vec {x}}^{\prime },{\vec {y}}\right)-G\left({\vec {x}}^{\prime },{\vec {y}}\right){\vec {\nabla }}_{\vec {y}}^{2}G\left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)\right]{\underset {Green\,II}{=}}}$

${\displaystyle ={\underset {S=\partial V}{\int }}d^{2}a\,\left[\underbrace {G\left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)} _{=0,\,{\vec {y}}\in S}{\vec {n}}_{y}\cdot {\vec {\nabla }}_{\vec {y}}G\left({\vec {x}}^{\prime },{\vec {y}}\right)-\underbrace {G\left({\vec {x}}^{\prime },{\vec {y}}\right)} _{=0,\,{\vec {y}}\in S}{\vec {n}}_{y}\cdot {\vec {\nabla }}_{\vec {y}}G\left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)\right]=0}$

wegen der Dirichlet'schen Randbedingung ${\displaystyle G\left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)=0}$ für ${\displaystyle {\vec {y}}\in S}$.

• Die Lösung der Poisson-Gleichung wir mit z.B. der Dirichlet'schen

Randbedingung bis auf eine Konstante eindeutig.

Um dies zu zeigen, nehmen wir zunächst das Gegenteil an, d.h. es existieren zwei Lösungen der Poisson-Gleichung zur selben Ladungsverteilung ${\displaystyle \rho }$:

${\displaystyle {\vec {\nabla }}^{2}\phi _{1}=-4\pi \rho }$,

${\displaystyle {\vec {\nabla }}^{2}\phi _{2}=-4\pi \rho }$,

${\displaystyle U:=\phi _{1}-\phi _{2}\;\Rightarrow {\vec {\nabla }}^{2}U=0}$

Mit Green I folgt hieraus:

${\displaystyle {\underset {V}{\int }}d^{3}x\,\left(U\,\underbrace {{\vec {\nabla }}^{2}U} _{=0}+\left({\vec {\nabla }}U\right)^{2}\right)={\underset {S=\partial V}{\int }}d^{2}a\,\underbrace {U} _{=0,\,{\vec {x}}\in S}{\vec {n}}\cdot {\vec {\nabla }}U=0\;\Rightarrow \;\left({\vec {\nabla }}U\right)^{2}=0}$,

wenn z.B. Dirichlet'sche Randbedingungen, d.h. ${\displaystyle U\left({\vec {x}}\right)=0,\;{\vec {x}}\in S}$, angewandt werden. Wegen ${\displaystyle \left({\vec {\nabla }}U\right)^{2}=0}$ gilt somit auch ${\displaystyle const.=U=\phi _{1}-\phi _{2}}$, d.h. ${\displaystyle \phi _{1}=\phi _{2}+const.}$

Biot-Savart'scher Satz

Da wir bereits das Vektorpotential in der Elektrostatik bestimmt haben,

${\displaystyle {\vec {A}}\left({\vec {x}}\right)={\frac {\mu }{c}}\int d^{3}x^{\prime }\,{\frac {{\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}}$,

erhalten wir aus ${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}}$ und ${\displaystyle {\vec {\nabla }}{\frac {1}{r}}=-{\frac {\vec {x}}{r^{3}}}}$ unmittelbar:

${\displaystyle {\vec {B}}\left({\vec {x}}\right)={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}\left({\vec {x}}\right)={\vec {\nabla }}\times {\frac {\mu }{c}}\int d^{3}x^{\prime }\,{\frac {{\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}=}$

${\displaystyle -{\frac {\mu }{c}}\int d^{3}x^{\prime }\,{\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)\times {\vec {\nabla }}{\frac {1}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}={\frac {\mu }{c}}\int d^{3}x^{\prime }\,{\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)\times {\frac {{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|^{3}}}}$.

Mit ${\displaystyle {\vec {H}}={\frac {1}{\mu }}{\vec {B}}}$ resultiert hieraus der berühmte Biot-Savart'sche Satz,

${\displaystyle {\vec {H}}\left({\vec {x}}\right)={\frac {1}{c}}\int d^{3}x^{\prime }\,{\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)\times {\frac {{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|^{3}}}={\frac {1}{c}}I\int {\frac {d{\vec {x}}^{\prime }\times \left({\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right)}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|^{3}}}}$,

mit dem in der Elektrostatik z.B. das Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters bestimmt werden kann.

Dipolentwicklung des elektrischen Feldes

Der Beobachter sei weit von der Quelle des elektrischen Feldes, einer Ladungsverteilung um ${\displaystyle {\vec {x}}^{\prime }}$, entfernt, d.h. ${\displaystyle r\gg r^{\prime }}$.

Daher kann eine Taylor-Entwicklung bis zur ersten Ordnung in ${\displaystyle {\vec {x}}^{\prime }}$ um Null durchgeführt werden:

${\displaystyle {\frac {1}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}={\frac {1}{r}}+{\frac {{\vec {x}}^{\prime }\cdot {\vec {x}}}{r^{3}}}}$,

die man auch wie folgt einsehen kann:

${\displaystyle \left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|={\sqrt {\left({\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right)^{2}}}={\sqrt {r^{2}+r^{\prime 2}-2rr^{\prime }\cos \vartheta }}=}$

${\displaystyle r\,{\sqrt {1+\left({\frac {r^{\prime }}{r}}\right)^{2}-2{\frac {r^{\prime }}{r}}\cos \vartheta }}{\underset {r\gg r^{\prime }}{\approx }}r\left(1-{\frac {r^{\prime }}{r}}\cos \vartheta \right)}$

mit dem Winkel ${\displaystyle \vartheta }$ zwischen ${\displaystyle {\vec {x}}}$ und ${\displaystyle {\vec {x}}^{\prime }}$, d.h. ${\displaystyle {\vec {x}}^{\prime }\cdot {\vec {x}}=rr^{\prime }\cos \vartheta }$. Somit erhalten wir

${\displaystyle {\frac {1}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}{\underset {r\gg r^{\prime }}{\approx }}{\frac {1}{r}}+{\frac {r^{\prime }r\,\cos \vartheta }{r^{3}}}={\frac {1}{r}}+{\frac {{\vec {x}}^{\prime }\cdot {\vec {x}}}{r^{3}}}}$.

Bei Abwesenheit von Dielektrika (d.h. ${\displaystyle \varepsilon =1}$) gilt:

${\displaystyle A_{0}\left({\vec {x}}\right)=\int d^{3}x^{\prime }\,{\frac {\rho \left({\vec {x}}^{\prime }\right)}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}\approx {\frac {1}{r}}\underbrace {\int d^{3}x^{\prime }\,\rho \left({\vec {x}}^{\prime }\right)} _{=q}+{\frac {\vec {x}}{r^{3}}}\cdot \underbrace {\int d^{3}x^{\prime }\,\rho \left({\vec {x}}^{\prime }\right){\vec {x}}^{\prime }} _{={\vec {p}}}={\frac {q}{r}}+{\vec {p}}\cdot {\frac {\vec {x}}{r^{3}}}}$,

mit der Ladung

${\displaystyle q=\int d^{3}x^{\prime }\,\rho \left({\vec {x}}^{\prime }\right)}$

und dem Dipolmoment

${\displaystyle {\vec {p}}=\int d^{3}x^{\prime }\,\rho \left({\vec {x}}^{\prime }\right){\vec {x}}^{\prime }}$.

${\displaystyle A_{0}}$ ist also eine Summe aus einem Monopolterm (Term mit q) und einem Dipolterm (Term mit ${\displaystyle {\vec {p}}}$).

Aus dem Skalarpotential können wir das elektrische Feld ${\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}A_{0}}$,

mittels

${\displaystyle {\vec {\nabla }}{\frac {1}{r}}=-{\frac {\vec {r}}{r^{3}}}}$,

und

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {x_{j}}{r^{3}}}={\frac {1}{r^{3}}}\left(\delta _{ij}-3{\frac {x_{i}}{r}}{\frac {x_{j}}{r}}\right)={\frac {1}{r^{3}}}\left(\delta _{ij}-3n_{i}n_{j}\right)}$

errechnen:

${\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}A_{0}\approx q{\frac {\vec {r}}{r^{3}}}+{\frac {3{\vec {n}}\left({\vec {p}}\cdot {\vec {n}}\right)-{\vec {p}}}{r^{3}}}}$.

Dipolentwicklung des magnetischen Feldes

Der Beobachter sie weit von der Quelle des magnetischen Feldes, einer Stromverteilung um ${\displaystyle {\vec {x}}^{\prime }}$, entfernt, d.h. ${\displaystyle r\gg r^{\prime }}$:

${\displaystyle {\frac {1}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}={\frac {1}{r}}+{\frac {{\vec {x}}^{\prime }\cdot {\vec {x}}}{r^{3}}}}$.

Bei Abwesenheit von Magnetika (d.h. ${\displaystyle \mu =1}$) gilt daher:

${\displaystyle A_{k}\left({\vec {x}}\right)={\frac {1}{c}}\int d^{3}x^{\prime }\,{\frac {J_{k}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}\approx {\frac {1}{c}}{\frac {1}{r}}\int d^{3}x^{\prime }\,J_{k}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)+{\frac {\vec {x}}{r^{3}}}\cdot \int d^{3}x^{\prime }\,J_{k}\left({\vec {x}}^{\prime }\right){\vec {x}}^{\prime }}$

Wegen der Quellfreiheit des Stromes in der Elektrostatik, d.h.

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}\left({\vec {x}}\right)=0}$,

vereinfacht sich folgendes Integral

${\displaystyle {\underset {V}{\int }}d^{3}x\,f\left({\vec {x}}\right){\vec {J}}\left({\vec {x}}\right)\cdot {\vec {\nabla }}g\left({\vec {x}}\right)={\underset {V}{\int }}d^{3}x\,{\vec {\nabla }}\cdot \left(f\left({\vec {x}}\right)g\left({\vec {x}}\right){\vec {J}}\left({\vec {x}}\right)\right)}$

${\displaystyle -{\underset {V}{\int }}d^{3}x\,g\left({\vec {x}}\right){\vec {J}}\left({\vec {x}}\right)\cdot {\vec {\nabla }}f\left({\vec {x}}\right)-{\underset {V}{\int }}d^{3}x\,f\left({\vec {x}}\right)g\left({\vec {x}}\right)\underbrace {{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}\left({\vec {x}}\right)} _{=0}}$,

in dem nach dem Satz von Gauß der Divergenzterm

${\displaystyle {\underset {V}{\int }}d^{3}x\,{\vec {\nabla }}\cdot \left(f\left({\vec {x}}\right)g\left({\vec {x}}\right){\vec {J}}\left({\vec {x}}\right)\right)={\underset {A=\partial V}{\int }}d^{2}a\,{\vec {n}}\cdot \left(f\left({\vec {x}}\right)g\left({\vec {x}}\right){\vec {J}}\left({\vec {x}}\right)\right){\underset {r\rightarrow \infty ,\,\partial V=\partial \mathbb {R} ^{3}}{\longrightarrow }}0}$,

auf dem Rande des Integrationsvolumens verschwindet, weil im Unendlichen kein Strom fließe. Hieraus resultiert der im Folgenden noch oft verwendete Hilfssatz:

Für ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}\left({\vec {x}}\right)=0}$ gilt ${\displaystyle 0=\int d^{3}x\,\left(f\left({\vec {x}}\right){\vec {J}}\left({\vec {x}}\right)\cdot {\vec {\nabla }}g\left({\vec {x}}\right)+g\left({\vec {x}}\right){\vec {J}}\left({\vec {x}}\right)\cdot {\vec {\nabla }}f\left({\vec {x}}\right)\right)}$.

Hierin setzten wir nacheinander

(a) ${\displaystyle f=1,\,g=x_{k}\;\Rightarrow \;{\vec {\nabla }}f=0,\,{\vec {\nabla }}g={\hat {e}}_{k}}$:

${\displaystyle \int d^{3}x\,J_{k}\left({\vec {x}}\right)=\int d^{3}x\,{\vec {J}}\left({\vec {x}}\right)\cdot {\hat {e}}_{k}=\int d^{3}x\,{\vec {J}}\left({\vec {x}}\right)\cdot {\vec {\nabla }}x_{k}=0}$.

D.h. der Monopol-Anteil verschwindet!

(b) ${\displaystyle f=x_{i},\,g=x_{k}\;\Rightarrow \;{\vec {\nabla }}f={\hat {e}}_{i},\,{\vec {\nabla }}g={\hat {e}}_{k}}$:

${\displaystyle \int d^{3}x\,\left(x_{i}J_{k}\left({\vec {x}}\right)+x_{k}J_{i}\left({\vec {x}}\right)\right)=0}$,

(c) ${\displaystyle x_{i}J_{k}-x_{k}J_{i}={\underset {p,q}{\sum }}x_{p}J_{q}\left(\delta _{ip}\delta _{kq}-\delta _{iq}\delta _{kp}\right)={\underset {p,q,l}{\sum }}\varepsilon _{ikl}\varepsilon _{lpq}x_{p}J_{q}={\underset {l}{\sum }}\varepsilon _{ikl}\left[{\vec {x}}\times {\vec {J}}\right]_{l}}$.

Aus (a) bis (c) erhalten wir somit für das Vektorpotential

${\displaystyle A_{k}\left({\vec {x}}\right){\underset {(a)}{\approx }}{\frac {1}{c}}{\underset {i}{\sum }}{\frac {x_{i}}{r^{3}}}\int d^{3}x^{\prime }\,x_{i}^{\prime }J_{k}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)={\frac {1}{c}}{\underset {i}{\sum }}{\frac {x_{i}}{r^{3}}}\int d^{3}x^{\prime }\,\left(x_{i}^{\prime }J_{k}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)+x_{i}^{\prime }J_{k}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)\right){\underset {(b)}{=}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{c}}{\underset {i}{\sum }}{\frac {x_{i}}{r^{3}}}\int d^{3}x^{\prime }\,\left(x_{i}^{\prime }J_{k}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)-x_{k}^{\prime }J_{i}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)\right){\underset {(c)}{=}}{\frac {1}{2c}}{\underset {i,l}{\sum }}\varepsilon _{ikl}{\frac {x_{i}}{r^{3}}}\int d^{3}x^{\prime }\,\left[{\vec {x}}^{\prime }\times {\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)\right]_{l}=}$

${\displaystyle \left[\underbrace {{\frac {1}{2c}}\int d^{3}x^{\prime }\,\left({\vec {x}}^{\prime }\times {\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)\right)} _{=:{\overrightarrow {m}}}\times {\frac {\vec {x}}{r^{3}}}\right]_{k}}$,

d.h.

${\displaystyle {\vec {A}}\left({\vec {x}}\right)\approx {\vec {m}}\times {\frac {\vec {x}}{r^{3}}}}$

mit dem magnetischen Moment

${\displaystyle {\vec {m}}={\frac {1}{2c}}\int d^{3}x^{\prime }\,\left({\vec {x}}^{\prime }\times {\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)\right)}$.

Aus dem jetzt bekannten Vektorpotential lässt sich selbstverständlich wieder ein magnetisches Feld berechnen:

${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}\approx -{\vec {\nabla }}\times \left({\vec {m}}\times {\vec {\nabla }}{\frac {1}{r}}\right){\underset {{\vec {m}}=const.}{=}}{\vec {\nabla }}\times \left({\vec {\nabla }}\times {\frac {\vec {m}}{r}}\right)=}$

${\displaystyle =-{\vec {\nabla }}^{2}{\frac {\vec {m}}{r}}+{\vec {\nabla }}\left({\vec {\nabla }}\cdot {\frac {\vec {m}}{r}}\right)=-{\vec {m}}\underbrace {{\vec {\nabla }}^{2}{\frac {1}{r}}} _{=0,\,r\neq 0}+{\vec {\nabla }}\left({\vec {m}}\cdot {\vec {\nabla }}{\frac {1}{r}}\right)}$,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {x_{j}}{r^{3}}}={\frac {1}{r^{3}}}\left(\delta _{ij}-3n_{i}n_{j}\right)}$, ${\displaystyle {\vec {n}}={\frac {\vec {x}}{r}}}$,

woraus ein magnetisches Dipolfeld resultiert:

${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}\approx {\frac {3{\vec {n}}\left({\vec {m}}\cdot {\vec {n}}\right)-{\vec {m}}}{r^{3}}}}$.

Außerdem ist es noch möglich, mittels (a) bis (c) die magnetische Dipolenergie und das Drehmoment auf eine lokalisierte Stromverteilung zu bestimmen.

• Die magnetische Dipolenergie können wir durch das Betrachten einer

Kraft

${\displaystyle {\vec {F}}={\frac {q}{c}}\int d^{3}x^{\prime }\,{\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)\times {\vec {B}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)}$

auf eine wenig ausgedehnte Stromverteilung im äußeren Magnetfeld gewinnen, d.h.

${\displaystyle B_{i}\left({\vec {x}}\right)\approx B_{i}\left(0\right)+{\underset {k}{\sum }}x_{k}{\frac {\partial B_{i}}{\partial x_{k}}}\left(0\right)}$: