• China hatte im Jahr 1966 eine Bevölkerungsgröße von circa 750 Millionen Menschen. Das jährliche Wachstum lag bei circa 2,5%. Wie groß wäre die Bevölkerung im Jahr 2016, wenn der Wachstum gleich geblieben wäre? Was wären die Ergebnisse eines solchen Wachstums?

1. Jahr

${\displaystyle {\begin{matrix}100\%\\\uparrow$ :\\102,5\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{750 Millionen}}\\{}\\x_{1}\end{matrix}}}

${\displaystyle x_{1}=750\cdot {\frac {102{,}5}{100}}=750\cdot 1{,}025=768{,}75\ {\text{Millionen}}}$

${\displaystyle x_{1}=750\cdot 1{,}025^{1}{\text{ Millionen}}\qquad (=768{,}75\ {\text{Millionen}})}$
${\displaystyle x_{2}=768{,}75\cdot 1{,}025=750\cdot 1{,}025\cdot 1{,}025=750\cdot 1{,}025^{2}{\text{ Millionen}}\qquad (\approx 787{,}97\ {\text{Millionen}})}$
${\displaystyle x_{3}=787{,}97\cdot 1{,}025=750\cdot 1{,}025^{2}\cdot 1{,}025=750\cdot 1{,}025^{3}{\text{ Millionen}}\qquad (\approx 807{,}67\ {\text{Millionen}})}$
${\displaystyle x_{50}=750\cdot 1{,}025^{50}{\text{ Millionen}}\approx 2577{,}83\ {\text{ Millionen}}}$.
So groß wäre die Bevölkerung Chinas nach 50 Jahren!
${\displaystyle x_{500}=750\cdot 1{,}025^{500}{\text{ Millionen}}\approx 173\ {\text{Millionen von Millionen, }}}$also Trillionen!

• Das Iod-Isotop ¹³¹I (wird in nuklear-medizinischen Therapie benutzt) zerfällt um 8,3% täglich. Wie viele Atome des Isotops bleiben nach 3 Wochen, wenn wir am Anfang 250000 Atome haben?

${\displaystyle 100\%-8{,}3\%=91{,}7\%={\frac {91{,}7}{100}}=0{,}917}$

${\displaystyle x_{n}={\underset {\binom {Wert\ am}{Anfang}}{250000}}\cdot {\underset {(Prozent)}{0{,}917}}^{n\quad \leftarrow ({\text{Anzahl der Wiederholungen, z.B. der Jahre}})}}$
${\displaystyle 3\cdot 7=21}$

${\displaystyle x_{21}={250000}\cdot {0{,}917}^{21}\approx 40522Atome}$

${\displaystyle N(t)=N_{0}\cdot a^{t}}$

Unterschied zwischen Wachstum und Abnahme?

${\displaystyle {\tfrac {a^{9}}{a^{4}}}=a^{9-4}=a^{5}}$
${\displaystyle {\tfrac {a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}{a\cdot a\cdot a\cdot a}}}$
${\displaystyle {\tfrac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}}$

${\displaystyle {\tfrac {a^{3}}{a^{3}}}=a^{3-3}=a^{0}}$
${\displaystyle {\tfrac {a\cdot a\cdot a}{a\cdot a\cdot a}}=1}$
${\displaystyle a^{0}=1}$

${\displaystyle N(t)=N_{0}\cdot a^{t}}$

${\displaystyle y=s\cdot x+A_{y}}$

${\displaystyle q(x)=a\ x^{2}+b\ x+c}$

Wert am Anfang? Bereich für a? Verdoppelungs-"Zeit"?

${\displaystyle a>1}$

Wert am Anfang? Bereich für a? Halbwerts-"Zeit"?

${\displaystyle 0<a<1}$

4 verschiedene Waschmittel wurden auf ihre Effektivität geprüft. Das Diagramm zeigt welcher Anteil (in Prozent) des Schmutzes geblieben ist in Bezug auf die Zeit (in Minuten)

1. Welches Waschmittel ist das wirksamste?
2. Die Funktion für Rotrum lautet: ${\displaystyle f(x)=k\cdot e^{-m\cdot x}.\ }$Lesen Sie aus dem Diagramm den Parameter k ab!
3. Die Halbwertszeit des Schmutzes für Blautrex ist 13 Minuten. Stellen Sie die entsprechende Exponentialfunktion auf!
4. Bei Blautrex wurde die Dosis des Waschmittels erhöht, sobald 12% des Schmutzes übrig geblieben sind. Zum welchen Zeitpunkt war das? Benutzen Sie für die Lösung die Antwort der vorherigen Frage!
5. Die Halbwertszeit für ein anderes Waschmittel ist 7 Minuten. Zeichnen Sie die entsprechende Exponentialfunktion (in dieses Diagramm)!
6. Die Gleichung für Panax lautet: ${\displaystyle 100\ e^{-{\ln(2)x} \over 2}}$. Um wie viel Prozent reduziert sich die Menge des Schmutzes nach 11 Minuten?
7. Für ein weiteres Waschmittel gilt folgende Gleichung: ${\displaystyle M(t)=1,271\cdot 0,7417^{t}}$
   t die Zeit in Minuten
   M(t) die Menge des Schmutzes in g
   
   Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!

   Die Menge nimmt linear ab
   Die Menge nimmt um 25,83% pro Minute ab
   Die Menge nimmt um 27,1% pro Minute zu
   Die Menge nimmt im Laufe der Zeit immer schneller ab
   Die Menge nimmt um 74,17% pro Minute ab
   Die Menge am Anfang ist 1,271 g

8. Linix weist im dargestellten Intervall eine lineare Abhängigkeit auf. Wie viel ist die Steigung der entsprechenden Funktion? Bitte auch die entsprechenden Einheiten angeben!
9. Die allgemeine Gleichung für die hier dargestellte Vorgänge lautet: ${\displaystyle M(t)=M_{0}\cdot a^{t}}$. Geben Sie die Intervalle für a, t und M an!
10. Die entsprechende Gleichung eines anderen Waschmittels lautet: ${\displaystyle M(t)=2450\cdot 0{,}617^{t}}$. Um wie viel Prozent reduziert sich der Schmutz nach 1 Minute?

${\displaystyle 0<M<M_{0}}$

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