Randwertaufgabe

Ansatz

Sind die Legendreschen Reihen für eine Fläche aufgestellt, werden sie in Riemannschen Koordinaten ausgedrückt, es findet also eine Ersetzung mit den folgenden Formeln statt:

${\displaystyle x=S\cdot \cos A}$

${\displaystyle y=S\cdot \sin A}$

Allgemeines Beispiel für Koeffizientenvergleich

Die Reihe habe die Gestalt

${\displaystyle x(y)=b_{0}+b_{1}y+b_{2}y^{2}}$

Mit den bekannten Koeffizienten b_i.

Gesucht sind die Koeffizienten a_i der umgekehrten Funktion

${\displaystyle y(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}}$

Das bekannte x wird in die y-Funktion eingesetzt:

${\displaystyle y(x)=a_{0}+a_{1}(b_{0}+b_{1}y+b_{2}y^{2})+a_{2}(b_{0}+b_{1}y+b_{2}y^{2})^{2}}$

Ausquadriert und unter Vernachlässigung von Gliedern mit Ordnung ab 3:

${\displaystyle y(x)=a_{0}+a_{1}(b_{0}+b_{1}y+b_{2}y^{2})+a_{2}(b_{0}^{2}+2b_{0}b_{1}y+(b_{1}^{2}+2b_{0}b_{2})y^{2})+{\mathcal {O}}(3)}$

Ordnen nach y ergibt:

${\displaystyle 0\cdot y^{0}+1\cdot y^{1}+0\cdot y^{2}=(a_{0}+a_{1}b_{0}+a_{2}b_{0}^{2})y^{0}+(a_{1}b_{1}+2a_{2}b_{0}b_{1})y^{1}+(a_{2}(b_{1}^{2}+2b_{0}b_{2})+a_{1}b_{2})y^{2}}$

Der Koeffizientenvergleich bezieht sich auf rechte und linke Seite, deswegen links die Nullterme. Es enstehen drei Gleichungen für die drei Unbekannten b_i:

${\displaystyle 0=a_{0}+a_{1}b_{0}+a_{2}b_{0}^{2}}$

${\displaystyle 1=a_{1}b_{1}+2a_{2}b_{0}b_{1}}$

${\displaystyle 0=a_{2}(b_{1}^{2}+2b_{0}b_{2})+a_{1}b_{2}}$

Die Lösung des Gleichungssystems ergibt:

${\displaystyle a_{0}=-{\frac {b_{0}}{b_{1}}}-{\frac {b_{0}^{2}b_{2}}{b_{1}^{3}}}}$

${\displaystyle a_{1}={\frac {1}{b_{1}}}+2{\frac {b_{0}^{2}b_{2}}{b_{1}^{3}}}}$

${\displaystyle a_{2}=-{\frac {b_{2}}{b_{1}^{3}}}}$

Bemerkung

Natürlich unterliegen die so gewonnenen Reihen denselben Beschränkungen hinsichtlich der Distanz wie die Legendrereihen für die Anfangswertaufgabe, d.h. maximale Entfernung 150 km.