Die einfachste Ableitung der Welt

Gegeben ist die Funktion ${\displaystyle g(x)=x^{2}}$. Berechne die Ableitung ${\displaystyle g'(x)}$ und ermittle ihre Werte ${\displaystyle g'(0)}$, ${\displaystyle g'(3)}$ und ${\displaystyle g'(5)}$.

    ${\displaystyle g'(x)=2\times x}$
    ${\displaystyle g'(0)=2\times 0=0}$  
    ${\displaystyle g'(3)=2\times 3=6}$
   
    ...

Ableitung in der Summe

Gegeben ist die Funktion ${\displaystyle g(x)=5x^{3}+7x^{2}+11x+10}$. Berechne die Ableitung ${\displaystyle g(x)'}$ und ermittle die Werte ${\displaystyle g'(-1)}$, ${\displaystyle g'(1)}$ und ${\displaystyle g'(2)}$.

  Nach der Summenformel werden die einzelnen Terme separat
  abgeleitet und zusammen gezählt.

  ${\displaystyle g'(x)=15x^{2}+14x+11}$ 
  ${\displaystyle g'(-1)=15(-1)^{2}+14(-1)+11}$
  ... 

x Quadrat plus eins hoch zehn

Gegeben ist die Funktion ${\displaystyle h(x)=(x^{2}+1)^{10}}$. Berechne die Ableitung ${\displaystyle h'(x)}$ und ermittle die Werte ${\displaystyle h'(-1)}$, ${\displaystyle h'(0)}$ und ${\displaystyle h'(1)}$.

   Nach der Kettenregel wird eine geschachtelte Funktion 
   mit der Formel ${\displaystyle (f(g))'=f'(g)g'}$ abgeleitet.

   Die äußere Funktion ist hier "hoch 10" die innere Funktion ist ${\displaystyle x^{2}+1}$
   ${\displaystyle h'(x)=\underbrace {10(x^{2}+1)^{9}} _{f'(g)}\underbrace {(2x)} _{g'}}$

   ${\displaystyle h'(-1)=10((-1)^{2}+1)^{9}2(-1)=10(2^{9})(-2)=-102040}$
   ...

x mal Sinus x durch x Quadrat plus 1

Gegeben sei die Funktion ${\displaystyle g(x)={\frac {xsinx}{x^{2}+1}}}$ Berechne ${\displaystyle g'(x)}$ und ermittle die Werte ${\displaystyle g'(\pi )}$ und ${\displaystyle g'(\pi /2)}$ (auf vier Stellen hinter dem Komma; rechne sin und cos mit Bogenmaß)

   Nach der Quotientenregel formen wir aus dem rechten Ausdruck zunächst 
   ${\displaystyle {\frac {(xsinx)'(x^{2}+1)-(xsinx)(x^{2}+1)'}{(x^{2}+1)^{2}}}}$

   Dann leiten wir die einzelnen Teilausdrücke ab
   ${\displaystyle {\frac {(1\cdot sinx+xcosx)(x^{2}+1)-(xsinx)2x}{(x^{2}+1)^{2}}}}$

   Wir multiplizieren die Terme oben aus
   ${\displaystyle {\frac {x^{2}sinx+x^{3}cosx+sinx+xcosx-2x^{2}sinx}{(x^{2}+1)^{2}}}}$

   und vereinfachen zu 
   ${\displaystyle {\frac {x^{3}cosx+sinx+xcosx-x^{2}sinx}{(x^{2}+1)^{2}}}}$

   Die Ableitung ist somit
    ${\displaystyle g'(x)={\frac {x^{3}cosx+sinx+xcosx-x^{2}sinx}{(x^{2}+1)^{2}}}}$