Beweis der Stetigkeit von ${\displaystyle g\circ f}$ in ${\displaystyle x}$.

Sei ${\displaystyle V}$ eine Umgebung von ${\displaystyle g\circ f(x)=g(f(x))}$. Aufgrund der Stetigkeit von ${\displaystyle g}$ existiert dann eine Umgebung ${\displaystyle W}$ von ${\displaystyle f(x)}$ mit ${\displaystyle g(W)\subset V}$.

Aus der Stetigkeit von ${\displaystyle f}$ folgt nun die Existenz einer Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle f(U)\subset W}$.

Dann ist aber ${\displaystyle g\circ f(U)=g(f(U))\subset g(W)\subset V}$ und dies bedeutet gerade die Stetigkeit von ${\displaystyle g\circ f}$ in ${\displaystyle x}$.