Für Matrizen

Es sei ${\displaystyle A}$ eine ${\displaystyle \scriptstyle n\times n}$-Matrix mit Elemente aus einem Körper ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {K} }$. Dann wird das charakteristisches Polynom ${\displaystyle p_{A}}$ von ${\displaystyle A}$ definiert durch:

${\displaystyle \!\,p_{A}(\lambda ):=\det(A-\lambda \mathrm {I} _{n})}$.

Darin ist ${\displaystyle \mathrm {I} _{n}}$ die n-dimensionalen Einheitsmatrix.

Für Endomorphismen

Es seien ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum endlicher Dimension, und ${\displaystyle \varphi }$ ein Endomorphismus auf ${\displaystyle V}$. Dann wird das charakteristische Polynom ${\displaystyle p_{\varphi }}$ von ${\displaystyle \varphi }$ definiert durch:

${\displaystyle p_{\varphi }(\lambda ):=\det(\varphi -\lambda \cdot \mathrm {id} )}$

Ein allgemeines Beispiel

Es sei

${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{2\times 2}{\text{(}}\mathbb {K} {\text{)}}{\text{, A :=}}\left({\begin{array}{ll}a&b\\c&d\end{array}}\right)}$.

Dann ist das charakteristische Polynom ${\displaystyle p_{A}}$ von ${\displaystyle A}$ gegeben durch:

${\displaystyle p_{A}(\lambda )=\det(A-\lambda E)=\det(\left({\begin{array}{ll}a&b\\c&d\end{array}}\right)-\lambda \left({\begin{array}{ll}1&0\\0&1\end{array}}\right))=}$

${\displaystyle \det(\left({\begin{array}{ll}a-\lambda &b\\c&d-\lambda \end{array}}\right))=(a-\lambda )(d-\lambda )-bc=\lambda ^{2}-(a+d)\lambda +ad-bc.}$

Anmerkung:
Löst man die Gleichung ${\displaystyle p_{A}(\lambda )=0}$ nun nach ${\displaystyle \lambda }$ auf, so hat man die Eigenwerte zur Matrix ${\displaystyle {\text{A}}}$ gefunden.

Ein Beispiel zu Linearfaktoren

Es sei

${\displaystyle B\in {\mathcal {M}}_{2\times 2}{\text{(}}\mathbb {K} {\text{), B :=}}\left({\begin{array}{ll}a&0\\0&b\end{array}}\right)}$.

Dann ist das charakteristische Polynom ${\displaystyle p_{B}}$ von ${\displaystyle {\text{B}}}$:

${\displaystyle p_{B}{\text{ = }}\det(B-\lambda E){\text{ = }}\det(\left({\begin{array}{ll}a&0\\0&b\end{array}}\right)-\lambda \left({\begin{array}{ll}1&0\\0&1\end{array}}\right)){\text{ = }}}$
${\displaystyle det(\left({\begin{array}{ll}a-\lambda &0\\0&b-\lambda \end{array}}\right)){\text{ = }}(a-\lambda )(b-\lambda )}$

Das charakteristische Polynom ${\displaystyle p_{B}}$ ist also ${\displaystyle (a-\lambda )(b-\lambda )}$.
${\displaystyle B}$ ist zerfallend und aus den Linearfaktoren von ${\displaystyle p_{B}}$ kann man unmittelbar erkennen, dass die w:Eigenwerte ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ sind.

Zahlenbeispiel

Es sei

${\displaystyle C\in {\mathcal {M}}_{3\times 3}{\text{(}}\mathbb {C} {\text{), }}C{\text{ := }}\left({\begin{array}{lll}-1&1&1\\0&1&3\\1&0&2\end{array}}\right)}$.

Dann ist das charakteristische Polynom ${\displaystyle p_{C}}$ von ${\displaystyle C}$:

${\displaystyle p_{C}=\det(C-\lambda E)=det(\left({\begin{array}{lll}-1&1&1\\0&1&3\\1&0&2\end{array}}\right)-\lambda \left({\begin{array}{lll}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right))=}$
${\displaystyle \det(\left({\begin{array}{lll}(-\lambda -1)&1&1\\0&(1-\lambda )&3\\1&0&(2-\lambda )\end{array}}\right))=-\lambda ^{3}+2\lambda ^{2}+2\lambda }$

Das charakteristische Polynom ${\displaystyle p_{C}}$ ist also ${\displaystyle -\lambda ^{3}+2\lambda ^{2}+2\lambda }$.

-- Domino 18:08, 6. Apr. 2008 (CEST)