Definition

Eine Menge ist eine Sammlung von verschiedenen Dingen, wie z.B.

• Zahlen
• Buchstaben
• Farbe
• Figuren
• Namen

Mengen werden mit Großbuchstaben benannt.

Darstellungen

Es gibt verschiedene Möglichkeiten eine Menge darzustellen:

• graphisch mit Hilfe von Mengenbildern

• in aufzählender Form:

${\displaystyle B={\mathcal {f}}1;2;3;4;5{\mathcal {g}}}$
${\displaystyle \mathbb {N} _{0}={\mathcal {f}}0;1;2;3;4;5;6;...{\mathcal {g}}}$

• in beschreibender Form:

${\displaystyle P={\mathcal {f}}x\mid x\ \mathrm {ist\ Primzahl} {\mathcal {g}}}$
${\displaystyle C={\mathcal {f}}x\in N\mid x<5{\mathcal {g}}}$

Elemente

Die in der Menge beinhalteten Objekte nennt man Elemente.
${\displaystyle x\in A}$ (lies "x ist Element von A") bedeutet, dass x ein Element der Menge A ist, also in dieser Menge liegt.

${\displaystyle x\notin A}$ (lies "x ist nicht Element von A") bedeutet, dass x kein Element der Menge A ist, also nicht in A liegt.

Beispiel:
${\displaystyle A={\mathcal {f}}1;2;3{\mathcal {g}}\Rightarrow }$ ${\displaystyle 1\in A,2\in A,5\notin A}$

Besitzt eine Menge keine Elemente, so ist sie die leere Menge.
${\displaystyle {\mathcal {f}}{\mathcal {g}}=\phi }$
Eine Menge kann jedoch eine leere Menge enthalten !
${\displaystyle M={\mathcal {f}}\phi {\mathcal {g}}}$

Aus Mengen gebildete Mengen

• Die Teilmenge: Die Teilmenge ist eine Menge die in der Ausgangsmenge enthalten ist, und so alle Elemente dieser beinhaltet.${\displaystyle B\subseteq A\Leftrightarrow (x\in B\Rightarrow x\in A)}$
  Datei:Teilmenge.png
• Die Potenzmengen: Die Potenzmenge beinhaltet alle möglichen Teilmengen.

${\displaystyle P(A)={\mathcal {f}}\phi ;{\mathcal {f}}1{\mathcal {g}};{\mathcal {f}}2{\mathcal {g}};{\mathcal {f}}3{\mathcal {g}};{\mathcal {f}}1;2{\mathcal {g}};{\mathcal {f}}1;3{\mathcal {g}};{\mathcal {f}}2;3{\mathcal {g}};{\mathcal {f}}1;2;3{\mathcal {g}}{\mathcal {g}}}$
Die Mächtigkeit der Potenzmenge beträgt immer die Potenz von 2 mit der Mächtigkeit der Ausgangsmenge: ${\displaystyle |P(A)|=2^{|A|}}$
Datei:Menge aller teilmengen.png

• Die Schnittmenge: Die Schnittmenge beinhaltet alle Elemente, die gleichzeitig in der Menge A und B enthalten ist.
  

${\displaystyle A\cap B={\mathcal {f}}x\in A\wedge x\in B{\mathcal {g}}}$

• Die Vereinigungsmenge: Die Vereinigungsmenge beinhaltet alle Elemente, die entweder in A oder in B enthalten sind.
  

${\displaystyle A\cup B={\mathcal {f}}x\in A\vee x\in B{\mathcal {g}}}$
Datei:Vereinigungsmenge.png

• Die Differenzmenge: Die Differenzmenge beinhaltet alle Elemente, die in A aber nicht in B enthalten sind.
  

${\displaystyle A\setminus B={\mathcal {f}}x\in A\wedge x\notin B{\mathcal {g}}}$

Rechenregeln für Mengenoperationen

Für beliebige Mengen ${\displaystyle A,B,C}$ gelten die folgenden Rechenregeln

• Kommutativgesetze

${\displaystyle A\cup B=B\cup A}$

${\displaystyle A\cap B=B\cap A}$

• Assoziativgesetze

${\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C}$

${\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C}$

• Distributivgesetze

${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$

${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}$

• Absorptionsgesetze

${\displaystyle A\cap (A\cup B)=A}$

${\displaystyle A\cup (A\cap B)=A}$

• Idempotenzgesetze

${\displaystyle A\cap A=A}$

${\displaystyle A\cup A=A}$

• De Morgansche Regel

${\displaystyle A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)}$

${\displaystyle A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)}$

Relationen