erstes Beispiel

${\displaystyle y'={\frac {x^{2}}{y^{2}}}}$ Anfangswertbedingung: ${\displaystyle y(3)=3\,}$.

Bei diesem Beispiel kann man die Lösung schon mit der Methode "Scharf Hinsehen" erkennen. Trotzdem werden wir sie jetzt berechnen.

${\displaystyle f(x)=x^{2}\qquad g(y)={\frac {1}{y^{2}}}}$

${\displaystyle F(x)=\int _{3}^{x}t^{2}dt=\left[{\frac {1}{3}}t^{3}\right]_{3}^{x}={\frac {1}{3}}x^{3}-9}$

${\displaystyle G(y)=\int _{3}^{y}t^{2}dt=\left[{\frac {1}{3}}t^{3}\right]_{3}^{y}={\frac {1}{3}}y^{3}-9}$

${\displaystyle G(h(x))=F(x)\,}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {1}{3}}(h(x))^{3}-9={\frac {1}{3}}x^{3}-9}$

${\displaystyle \Rightarrow h(x)=x}$

Schauen wir, ob wir die gesuchte Gleichung gefunden haben und setzen ${\displaystyle h(x)\,}$ für ${\displaystyle y\,}$ ein.

${\displaystyle h'(x)=1={\frac {x^{2}}{x^{2}}}={\frac {x^{2}}{h(x)^{2}}}}$

Das stimmt. Und was ist mit der Anfangsbedingung?

${\displaystyle h(3)=3\,}$

Das ist auch richtig. Wir haben also eine richtige Lösung gefunden.