Aufgabe

Finde die notwendigen Termumformungen, um den Term ${\displaystyle {\frac {n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)}{6}}+2n\cdot (n+1)+(n+1)}$ in den Term ${\displaystyle {\frac {(n+1)\cdot (n+2)\cdot (4n+3)}{6}}}$ umzuwandeln.

Herangehensweise

Eine solche Problemstellung wird dir sicherlich häufig im Studium begegnen. Oftmals bekommst du, während du ein Beweis für einen Satz suchst, ein Term α raus und stehst vor dem Problem, zu beweisen, dass dieser gleich einem gewissen Term β ist (so wie ihn zum Beispiel die Aufgabe fordert). Du musst also eine Kette von Termumformungen finden, so dass

${\displaystyle {\text{Term }}\alpha =\ldots =\ldots \ldots \ldots =\ldots ={\text{Term }}\beta }$

Um dieses Problem zu lösen, kannst du folgendermaßen vorgehen: Du schreibst beide Terme nebeneinander und versuchst beide durch Termumformungen auf die gleiche Gestalt zu bringen. Also in etwa so:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}{\text{Term }}\alpha &&{\text{Term }}\beta \\\vdots &&\vdots \\{\color {Gray}{\text{Termumformungen}}}&&{\color {Gray}{\text{Termumfomungen}}}\\\vdots &&\vdots \\{\text{Zwischenterm}}&=&{\text{Zwischenterm}}\end{array}}}$

Die Lösung ergibt sich dann indem du aufschreibst

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{Term }}\alpha \\=&\ldots \ {\color {Gray}{\text{(Termumformungen der linken Seite)}}}\\=&{\text{Zwischenterm}}\\=&\ldots \ {\color {Gray}{\text{(Termumformungen der rechten Seite)}}}\\=&{\text{Term }}\beta \end{aligned}}}$

Aufgabe: Finde die notwendigen Termumformungen für die obige Aufgabe heraus.

Mit der obigen Methode erhältst du folgende Lösung:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)}{6}}+2n\cdot (n+1)+(n+1)&&{\frac {(n+1)\cdot (n+2)\cdot (4n+3)}{6}}\\[0.5em]{\frac {n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)}{6}}+(n+1)\cdot (2n+1)&&{\frac {(n+1)\cdot (n+2)\cdot (4n+3)}{6}}\\[0.5em]{\frac {n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)+6\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}}&&{\frac {(n+1)\cdot (n+2)\cdot (4n+3)}{6}}\\[0.5em]{\frac {(n+1)\cdot (n\cdot (4n-1)+6\cdot (2n+1))}{6}}&&{\frac {(n+1)\cdot (n+2)\cdot (4n+3)}{6}}\\[0.5em]{\frac {(n+1)\cdot (4n^{2}-n+12n+6)}{6}}&&{\frac {(n+1)\cdot (4n^{2}+3n+8n+6)}{6}}\\[0.5em]{\frac {(n+1)\cdot (4n^{2}+11n+6)}{6}}&=&{\frac {(n+1)\cdot (4n^{2}+11n+6)}{6}}\end{array}}}$

Damit ergibt sich folgende Lösung:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)}{6}}+2n\cdot (n+1)+(n+1)&={\frac {n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)}{6}}+(n+1)\cdot (2n+1)\\[0.5em]&={\frac {n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)+6\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}}\\[0.5em]&={\frac {(n+1)\cdot (n\cdot (4n-1)+6\cdot (2n+1))}{6}}\\[0.5em]&={\frac {(n+1)\cdot (4n^{2}-n+12n+6)}{6}}\\[0.5em]&={\frac {(n+1)\cdot (4n^{2}+3n+8n+6)}{6}}\\[0.5em]&={\frac {(n+1)\cdot (n+2)\cdot (4n+3)}{6}}\end{aligned}}}$