Mathe für Nicht-Freaks: Potenzgleichungen

Lösungen der Potenzgleichung

To-Do:

@Stephan Kulla: Abschnitt überarbeiten

In diesem Abschnitt sollen die bisherigen Ergebnisse aus dem Kapitel zur Wurzel genutzt werden, um alle reellen Lösungen einer Potenzgleichung $x^{n}=a$ zu bestimmen.

1. Fall: a ist 0

Hier ist $x=0$ die einzige Lösung der Gleichung $x^{n}=0$ für alle $n\in \mathbb {N}$ . Zum einen folgt aus $0^{n}=0$ , dass null eine Lösung der Potenzgleichung ist. Zum anderen ist $x^{n}\neq 0$ für alle $x\neq 0$ , da ein Produkt von zwei Zahlen ungleich null stets wieder ungleich null ist. Damit ist $x=0$ die einzige Lösung von $x^{n}=0$ .

2. Fall: a positiv und n gerade

Sei $a>0$ und $n=2k$ mit $k\in \mathbb {N}$ eine gerade Zahl. Für diesen Fall benötigen wir die Hilfaussage $x^{2}=|x|^{2}$ , falls $x$ eine reelle Zahl ist. Diese folgt direkt aus der Definition des Betrags: Ist $x\geq 0$ , so ist $|x|=x$ , und daher $|x|^{2}=x^{2}$ . Ist andererseits $x<0$ , so ist $|x|=-x$ , und somit $|x|^{2}=(-x)^{2}=x^{2}$ .

Damit folgt für unsere Potenzgleichung

{\begin{aligned}x^{n}=a&\iff x^{2k}=a\\[0.5em]&\left\downarrow \ {\text{Potenzrechenregel}}\right.\\[0.5em]&\iff (x^{2})^{k}=a\\[0.5em]&\left\downarrow \ {\text{Hilfsaussage}}\right.\\[0.5em]&\iff (|x|^{2})^{k}=a\\[0.5em]&\iff |x|^{2k}=a\\[0.5em]&\iff |x|^{n}=a\\[0.5em]\end{aligned}}

Nun ist aber $|x|=y>0$ . Also ist nach der Definition der Wurzel $y=|x|={\sqrt[{n}]{a}}$ . Damit ergeben sich als Lösung der Potenzgleichung $x^{k}=a$ genau die beiden Lösungen:

x_{1}={\sqrt[{n}]{a}}

und

x_{2}=-{\sqrt[{n}]{a}}

3. Fall: a negativ und n gerade

In diesem Fall hat die Gleichung $x^{n}=a$ keine Lösung, wie wir oben schon erwähnt hatten. Es gilt nämlich $x^{2}\geq 0$ für alle reellen $x$ . Damit gilt aber auch $(x^{2})^{k}=x^{2k}=x^{n}\geq 0$ .

4. Fall: a positiv und n=2k+1 ungerade

In diesem Fall hat die Gleichung $x^{n}=a$ die eindeutige Lösung

x={\sqrt[{n}]{a}}

Nach Definition der Wurzel ist ${\sqrt[{n}]{a}}$ die einzige positive Lösung der Potenzgleichung $x^{n}=a$ . Weitere negative Lösungen kann diese nicht haben, denn für jedes $x<0$ gilt

x^{n}=x^{2k+1}=\underbrace {x^{2k}} _{>0}\cdot \underbrace {x} _{<0}<0

5. Fall: a negativ und n=2k+1 ungerade

In diesem Fall hat die Gleichung $x^{n}=a$ die eindeutige Lösung

x=-{\sqrt[{n}]{-a}}

Aufgabe (Lösung der Potenzgleichung)

Begründe dies, indem du den 5. Fall auf den 4. Fall zurückführst.

Lösung (Lösung der Potenzgleichung)

Zunächst gilt $x^{n}=a\Leftrightarrow -x^{n}=-a>0$ . Da $n=2k+1$ ungerade ist, folgt $-x^{n}=(-x)^{n}$ . Also ist die Potenzgleichung äquivalent zu

(\underbrace {-x} _{=y})^{n}=(-x)^{2k+1}=\underbrace {-a} _{={\tilde {a}}}

Da ${\tilde {a}}>0$ , ist dies nach Fall 4 äquivalent zu $y={\sqrt[{n}]{\tilde {a}}}$ , also zu $-x={\sqrt[{n}]{-a}}$ . Dies bedeutet aber

x=-{\sqrt[{n}]{-a}}

Verständnisfrage: Wie lauten die Lösungen der folgenden Potenzgleichungen, falls vorhanden:

$x^{2}=4$
$x^{2}=-4$
$x^{3}=27$
$x^{3}=-27$

Antworten:

Die Lösungen lauten $x_{1}={\sqrt {4}}=2$ und $x_{2}=-{\sqrt {4}}=-2$ .
$x^{2}=-4$ hat keine Lösung.
Die Lösung lautet $x={\sqrt[{3}]{27}}=3$ .
Die Lösung lautet $x=-{\sqrt[{3}]{-(-27)}}=-{\sqrt[{3}]{27}}=-3$ .

Anwendung: abc-Formel

Wir wollen nun die aus der Schule bekannte abc-Formel zur Berechung der Lösungen einer quadratischen Gleichung bestimmen. Wir suchen also alle reellen $x$ , die für beliebige $a,b,c\in \mathbb {R}$ die Gleichung

ax^{2}+bx+c=0

erfüllen. Um diese zu bestimmen, wandeln wir die quadratische Gleichung in eine Potenzgleichung 2. Grades (d.h. $k=2$ ) um. Dazu verwenden wir das aus der Schule ebenfalls bekannte Prinzip der quadratischen Ergänzung.

{\begin{aligned}ax^{2}+bx+c=0&\Leftrightarrow \ a(x^{2}+{\tfrac {b}{a}}x)+c=0\\[0.5em]&\Leftrightarrow \ a(x^{2}+2{\tfrac {b}{2a}}x)+c=0\\[0.5em]&\left\downarrow {\text{ quadratisches Ergänzen}}\right.\\[0.5em]&\Leftrightarrow \ a(x^{2}+2{\tfrac {b}{2a}}x+\left({\tfrac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\tfrac {b}{2a}}\right)^{2})+c=0\\[0.5em]&\Leftrightarrow \ a(x^{2}+2{\tfrac {b}{2a}}x+\left({\tfrac {b}{2a}}\right)^{2})-a\cdot {\tfrac {b^{2}}{4a^{2}}}+c=0\\[0.5em]&\left\downarrow {\text{ 1.Binomische Formel }}\right.\\[0.5em]&\Leftrightarrow \ a(x+{\tfrac {b}{2a}})^{2}={\tfrac {b^{2}}{4a}}-c\\[0.5em]&\Leftrightarrow \ (x+{\tfrac {b}{2a}})^{2}={\tfrac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\tfrac {c}{a}}\\[0.5em]&\Leftrightarrow \ (x+{\tfrac {b}{2a}})^{2}={\tfrac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\[0.5em]\end{aligned}}

Setzen wir nun $y=x+{\tfrac {b}{2a}}$ und $e={\tfrac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$ , so erhalten wir die Potenzgleichung $y^{2}=e$ . Diese ist lösbar, falls

e={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\geq 0\iff b^{2}-4ac>0

ist, und hat nach dem 2. Fall von oben dann die Lösungen $y_{1}={\sqrt {e}}$ und $y_{2}=-{\sqrt {e}}$ . Also ist

x_{1}+{\frac {b}{2a}}={\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}

und

x_{2}+{\frac {b}{2a}}=-{\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}

Nach den Rechenregeln für Wurzeln ist

{\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{\sqrt {4a^{2}}}}={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{{\sqrt {4}}{\sqrt {a^{2}}}}}={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}

Wir erhalten damit die zwei Lösungen

x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

und

x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

Anmerkungen zur abc-Formel:

Die Zahl $D=b^{2}-4ac$ , welche man bei den Lösungen unter der Wurzel vorfindet, nennt sich Diskriminante. Mit dem oben Gezeigten gilt

ax^{2}+bx+c=0\left\{{\begin{array}{l}{\text{hat zwei Lösungen, falls }}D>0,\\{\text{hat eine Lösungen, falls }}D=0,\\{\text{hat keine Lösung, falls }}D<0\end{array}}\right.

Setzen wir $a=1$ , $b=p$ und $c=q$ , so erhalten wir die Lösungen der Gleichung $x^{2}+px+q=0$ mit der pq-Formel:

x_{1,2}={\frac {-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}

Aufgabe (Lösung quadratischer Gleichungen)

Bestimme die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen:

$2x^{2}+2x-12=0$
$x^{2}-5x+{\tfrac {25}{4}}=0$
$3x^{2}+6x+6=0$
${\tfrac {1}{2}}x^{2}-8=0$
$4x^{2}+20x=0$

Beweis (Lösung quadratischer Gleichungen)

Mit der abc-Formel erhalten wir $x_{1,2}={\tfrac {-2\pm {\sqrt {2^{2}-4\cdot 2\cdot (-12)}}}{2\cdot 2}}={\tfrac {-2\pm {\sqrt {100}}}{2\cdot 2}}={\tfrac {-2\pm 10}{4}}$ . Also lauten die Lösungen $x_{1}={\tfrac {-2+10}{4}}=2$ und $x_{2}={\tfrac {-2-10}{4}}=-3$ .
Mit der pq-Formel erhalten wir $x_{1,2}=-{\tfrac {-5}{2}}\pm {\sqrt {\left({\tfrac {5}{2}}\right)^{2}-{\tfrac {25}{4}}}}={\tfrac {5}{2}}\pm {\sqrt {{\tfrac {25}{4}}-{\tfrac {25}{4}}}}={\tfrac {5}{2}}$ . Also erhalten wir als einzige Lösung der Gleichung $x={\tfrac {5}{2}}$ .
Hier ist $D=6^{2}-4\cdot 3\cdot 6=36-72=-36<0$ . Also besitzt die Gleichung keine Lösung.
Es gilt ${\tfrac {1}{2}}x^{2}-8=0\iff {\tfrac {1}{2}}x^{2}=8\iff x^{2}=16$ . Also lauten die Lösungen $x_{1}={\sqrt {16}}=4$ und $x_{2}=-{\sqrt {16}}=-4$ .
Es gilt $4x^{2}+20x=0\iff 4x(x+5)=0$ . Also lauten die Lösungen $x_{1}=0$ und $x_{2}=-5$ .

To-Do:

@Benutzer:Stephan Kulla: Abschnitt Korrektur lesen.

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