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Herleitung Nebenklasse bzw. affiner Unterraum

Geraden im $\mathbb {R} ^{2}$

Nicht alle Geraden in \R^2 sind UVR
Einige Geraden gehen nicht durch den Ursprung
In der Schule wurde eine Gerade parametrisiert (x,y) = v+t*u für t \in \R. Alle Punkte auf der Geraden bilden eine Menge G := {v + t*u \mid t \in \R}
Eigentlich ist G nur eine Verschiebung von der leichter zu beschreiben Menge U := {t*u \mid t \in \R}. Das heißt in gewisser Weise sind die Vektoren aus G um v verschobene Vektoren aus U.
Andererseits ist U ein Untervektorraum von \R^2.
Das heißt eine Gerade ist durch einen Untervektorraum U \subseteq \R^2 und einen Vektor v \in \R^2 gegeben.
Für t*u lautet der um v verschobene Vektor v+t*u. Daher bezeichnen wir für U die um v verschobene Menge an Vektoren mit v+U.
Bei uns ist v+U=G= {v + t*u \mid t \in \R}={v+w\mid w\in U}

Ebenen im $\mathbb {R} ^{3}$

Wie sieht das im \R^3 aus?
Wir betrachten eine Ebene U := {t_1*u_1+t_2*u_2 \mid t,s \in \R} durch den Ursprung, was ein Untervektorraum ist.
Wieder kann man U um v verschieben: v+U := {v+tu_1+s*u_2 \mid t,s \in \R}={v+w\mid w\in U}.
Geraden und Ebenen im R^3 lassen sich so schreiben

Geraden in $(\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{2}$

(Z/5Z)^2 als etwas abstrakterer Vektorraum: auch hier funktioniert das Verschieben.
U={n*(1,1)^T\mid n\in Z/5Z} ist eine "Gerade" durch den Ursprung in (Z/5Z)^2
Genau wie oben, können wir sie beipielsweise um (2,0)^T verschieben, um eine Gerade zu erhalten, die nicht durch den Ursprung geht.
Jede Gerade, die sich um den abgebildeten Torus schlingt und durch (Z/5)^2-Punkte geht, lässt sich so schreiben.

Wir haben jetzt in verschiedenen Vektoräumen geometrische Objekte als verschobene Untervektorräume charakterisiert. Diesen wollen wir jetzt einen besonderen Namen geben.

Definition Nebenklasse bzw. affiner Unterraum

Definition (Affiner Unterraum bzw. Nebenklasse)

Sei $V$ ein $K$ -Vektorraum und $U$ ein Untervektorraum von $V$ , also $U\subseteq V$ . Weiter sei $v\in V$ . Dann nennen wir die Menge $v+U:=\{v+u\mid u\in U\}$ den von $v$ erzeugten affinen Unterraum bzgl. $U$ oder auch die von $v$ erzeugte Nebenklasse bzgl. $U$ .

Herleitung der Menge der Nebenklassen eines Unterraums

Bsp im \R^2: zwei verschiedene Verschiebungen, die zum gleichen affinen Unterraum führen (Bild)
Wann sind zwei verschobene Unterräume v+U und v'+U' gleich?
Angenommen v+U und v'+U' sind gleich (als Mengen)
Im \R^2-Beispiel sehen wir, dass die Steigungen gleich sein müssen. Damit müssen es auch die Unterräume, da diese durch die Steigung im \R^2 schon charakterisiert sind.
Um das jetzt allgemein zu sehen, wäre es schön, U aus v+U wieder zurück zu bekommen. Wir können aber einfach von jedem Vektor in v+U v wieder abziehen, das heißt
U = \{w - v\mid w \in v+U\} = \{ w- v\mid w \in v'+U'\} = \{v' + u' - v \mid u'\in U'\} = (v'-v) + U'
Wir wissen U ist ein UVR, das heißt, U enthält die 0. Damit ist 0 auch in (v'-v)+U enthalten, das heißt, 0 = (v'-v) + u' für ein u' \in U'. => u' = -(v'-v). => (v'-v) \in U'
u'\in U'=> u'+U'=U' (Das ist die Existenz von Inversen)
Damit U' = U. Unterwegs haben wir gesehen, das v'-v \in U' = U. Damit v+U = v' + U' gilt, muss also v'-v \in U sein.
Ist dieses Kriterium Hinreichend. Ja weil u+U = U => u \in U. (Gibt 0)
Nochmal zusammenfassen: damit zwei verschobene Unterräume v+U und v'+U' gleich sind, müssen die UVRe übereinstimmen, also U=U', und die Differenz der Verschiebungen muss in U liegen, d.h. v-v'\in U

Haben wir einen UVR gegeben, können wir nun herausfinden, ob zwei Verschiebungen um v bzw. v' den gleichen affinen Unterraum ergeben
Wir können damit eine Art "neue Gleichheit" konstruieren, indem wir v und v' als "gleich" betrachten, wenn sie den gleichen affinen Unterraum geben. Solche neuen Gleichheiten verhalten sich vernünftig, wenn sie Äquivalenzrelationen sind.
Um diese "neue Gleichheit" formal hinzuschreiben, definieren wir uns eine Relation \tilde, die durch v\tilde v' :\iff v+U=v'+U \iff v-v'\in U gegeben ist.
Intuitiv sollte unsere Relation eine Äquivalenzrelation sein, das überprüfen wir nun formal

Satz ( $\sim$ ist eine Äquivalenzrelation)

Die Relation $\sim$ definiert über $v\sim w\iff v-w\in U$ ist eine Äquivalenzrelation. Das heißt, die Relation ist reflexiv, symmetrisch und transitiv.

Wie kommt man auf den Beweis? ( $\sim$ ist eine Äquivalenzrelation)

To-Do:

schreiben

Beweis ( $\sim$ ist eine Äquivalenzrelation)

Beweisschritt: Reflexivität

Da $U$ ein Untervektorraum ist, gilt $0\in U$ , also ist für einen beliebigen Vektor $v\in V$ $0=v-v\in U$ . Nach Definition der Relation gilt damit $v\sim v$ für alle $v\in V$ .

Beweisschritt: Symmetrie

Wir wollen zeigen, dass aus $v\sim w$ die dazu symmetrische Beziehung $w\sim v$ folgt. Sei also $v\sim w$ . Somit ist $v-w\in U$ . Da $U$ ein Untervektorraum ist, ist $U$ abgeschlossen unter Inversenbildung. Damit ist auch $-(v-w)\in U$ . Dies ist gleichbedeutend mit $w-v\in U$ . Also gilt $w\sim v$ .

Beweisschritt: Transitivität

Abschließend ist zu zeigen, dass aus $v\sim w$ und $w\sim z$ die Beziehung $v\sim z$ folgt. Seien dafür $v\sim w$ , also $v-w\in U$ , und $w\sim z$ , also $w-z\in U$ . Da $U$ ein Untervektorraum ist, ist $U$ abgeschlossen unter Addition, insbesondere ist damit auch $(v-w)+(w-z)\in U$ . Weil $v-w+w-z=v-z$ gilt, ist also $v-z\in U$ und damit $v\sim z$ .

Mit der Ä-Rel können wir nun die Äquivalenzklassen betrachten, das heißt zu v \in V die Menge [v] := {w \in V \mid v\tilde w}.
[v] besteht also aus allen Vektoren w, die U zu dem affinen Unterraum v + U verschieben.
Wie sehen diese Äquivalenzklassen aus?
[v] = {w \in V \mid v\tilde w} = {w \in V \mid v - w \in U} = {v + u \mid u \in U} = v+U

Genauso wie wir zu einer Ä-Rel ihre Ä-Klassen betrachten können, können wir auch einen Raum konstruieren, in dem die "neue Gleichheit" der Äquivalenzrelation eine echte Gleichheit wird. Dies ist die Menge der Äquivalenzklassen, der wir jetzt einen besonderen Namen geben wollen.

Definition der Menge der Nebenklassen eines Unterraums

To-Do:

Definition zu Menge der Nebenklassen umbauen.

Definition (Menge der Nebenklassen eines Unterraums)

Sei $V$ ein $K$ -Vektorraum und $U$ ein Untervektorraum von $V$ , also $U\subseteq V$ . Weiter seien $v,w\in V$ . Definiere $v\sim w:\iff v-w\in U$ . Dann ist $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $V$ und die Äquivalenzklasse zu einem Element $v\in V$ die Menge $v+U$ . Diese nennen wir die von $v$ erzeugte Nebenklasse bezüglich $U$ .

To-Do:

Hinweis Ergänzen: Wann spricht man von Nebenklassen und wann von affinem Unterraum.

Beispiele für Nebenklassen

Beispiel (Physik: Veränderung von Potentieller Energie)

Wir betrachten den dreidimensionalen Raum, der sich in einem Gravitationsfeld mit einer positiven Gravitationskonstante $g$ befinden soll. Wir beschreiben ihn durch die $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ - Achsen. Ein solcher Raum kann zum Beispiel das Zimmer sein, in dem du gerade diesen Artikel liest. Wir setzten unseren Ursprung an irgendeine Stelle auf deinem Tisch, defienieren die potentelle Energie an dem Punkt also als 0. Von diesem Punkt aus kann ich ein Objekt an unterschiedliche Punkte bewegen, jedem dieser Zielpunkte können wir dabei die potentielle Energie eines Punktteilchens zuordnen, das wir dorthin bewegen, die nur von seiner Höhe über dem Tisch abhängt. Wir können es auch so auffassen dass wir jeder Bewegung vom Ursprung aus seine Veränderung der potentiellen Energie zuordnen wollen. Der Tisch sei in unserer Betrachtung die $x_{1}$ - $x_{2}$ - Ebene. Die potentielle Energie eines Teilchens bzw. die Veränderung der pot. Energie durch eine Bewegung vom Ursprung nach $(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}$ ist somit:

E_{pot}=m\cdot g\cdot x_{3}

Wir wollen die möglichen geradlinigen Verschiebungen vom Ursprung aus basierend auf ihrer Veränderung der potentiellen Energie klassifizieren, und bezeichnen zwei Verschiebungen als gleichwertig, falls ihre Veränderung der potentiellen Energie eines Punktteilchens übereinstimmt. Verschiebungen, die die pot. Energie gleich verändern, wollen wir in eine eigene Klasse zusammenfassen. Die Masse sowie die Gravitationskonstante sind für unser Punktteilchen gegeben. Deshalb verleien zwei betrachtete Verschiebungen genau dann die gleiche potentielle Energie, wenn sie in ihrer Höhehenveränderung übereinstimmen. Die Verschiebungen sind also in der selben Klasse, wenn ihr $x_{3}$ -Wert übereinstimmt.

Abstrahieren wir nun unser anschauliches Beispiel. Unser Raum ist der $\mathbb {R}$ -Vektorraum $\mathbb {R} ^{3}$ . Geradlinige Verschiebungen vom Ursprung aus sind Vektoren. Verschiebungem, die bei einem Punktteilchen die gleiche Veränderung der pot. Energie verursachen, bewegen dieses vom Ursprung in $\mathbb {R} ^{3}$ aus auf dieselbe Ebene parallel zur $x_{1}$ - $x_{2}$ -Ebene, da genau die Punktteilchen auf dieser Ebene dieselbe potentielle Energie haben. Wir können für eine bestimmte Veränderung der pot. Energie jeden der eine solche Veränderung verursachenden Vektoren als Repräsentanten auswählen.

Im Kapitel über Untervektorräume haben wir bereits gesehen, dass die $x_{1}$ - $x_{2}$ -Ebene ein Untervektorraum $U$ des $\mathbb {R} ^{3}$ ist. In unserem physikalischen Beispiel haben wir gesehen, dass entlang der $x_{3}$ - Achse verschobene Ebenen Äquivalenzklassen bzgl. der Veränderung potentieller Energie waren. Diese Klassen heißen auch Nebenklassen.

Beispiel (Finanzen: Veränderung der Bilanz von zwei Konten)

Nehmen wir an, jede Person würde immer genau zwei Bankkonten besitzen. Nun wollen wir wissen, wie viel Geld jede Person insgesamt hat. Also interessiert uns die Summe aller Gelder, die jede Person auf ihren Bankkonten hat. Wir betrachten die zwei Bankkonten, die Anna besitzt. In diesen hat sie Beträge von $A_{1}$ bzw. $A_{2}$ angespart. Anna hat insgesamt Geld im Wert von $A_{1}+A_{2}$ .

Betrachten wir jetzt zwei Personen, Otto und Fritz. Otto besitzt in seinen Konten $O=(O_{1},O_{2})^{T}$ . Fritz hat in seinen Konten $F=(F_{1},F_{2})^{T}$ . Otto und Franz haben also genau dann gleich viel Geld, wenn gilt $O_{1}+O_{2}=F_{1}+F_{2}$ . Wir nennen wir die Paare an Konten $(O_{1},O_{2})^{T}$ und $(F_{1},F_{2})^{T}$ äquivalent, wenn gleich viel Geld auf ihnen liegt, also wenn gilt $O_{1}+O_{2}=F_{1}+F_{2}$ .

Mit dieser Definition sind zum Beispiel folgende Paare an Konten äquivalent:

{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}700\\300\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}900\\100\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

Das liegt daran, dass $700+300=1000=900+100$ .

Die zwei Konten von Otto und Fritz sind also äquivalent, wenn $O_{1}+O_{2}-(F_{1}+F_{2})=0$ . Das ist gleichbedeutend mit $O_{1}-F_{1}+O_{2}-F_{2}=0$ . Wir definieren den Unterschied der Vektoren $O$ und $F$ durch

{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}O_{1}-F_{1}\\O_{2}-F_{2}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

Die Vektoren $O$ und $F$ sind genau dann äquivalent, wenn gilt $x+y=0$ .

Anders ausgedrückt, die Summe der Gelder aus zwei Konten ist durch die folgende lineare Abbildung gegeben:

{\begin{aligned}f{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=x+y\end{aligned}}

Somit ist der Kern von $f$ die Menge an Paaren von Konten, deren Summe Null ist. Also sind zwei Paare von Konten äquivalend, wenn sie sich nur durch einen Vektor aus $\ker(f)$ unterscheiden. Den Kern von $f$ können wir weiter umformen:

{\begin{aligned}\ker(f)=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\bigg |}x+y=0\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}a\\-a\end{pmatrix}}{\bigg |}a\in \mathbb {R} \right\}=\operatorname {span} \left(\left\{{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\right\}\right).\end{aligned}}

Die Äquivalenzklassen bezüglich der Summe des Kontostandes sind also genau die Nebenklassen modulo dem Untervektorraum $U:=\operatorname {span} \left(\left\{(1,-1)^{T}\right\}\right)$ . Alle Nebenklassen sind von der Form

{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}a\\0\end{pmatrix}}+U\end{aligned}}

mit $a\in \mathbb {R}$ .

Wir können uns das auch so vorstellen: Wir wollen die summierte Bilanz der zwei Konten betrachten. Dabei geht Information verloren. Wir wissen zwar nach wie vor, wie viel Geld eine Person insgesamt besitzt, aber nicht mehr, wie sich das Geld auf die beiden Konten verteilt.

To-Do:

“Abstraktes” Beispiel, mögl. in endlichem Körper, das aber sinnvoll ist um wieder Eigenschaften der Nebenklassen darin zu erkennen.

Alter Inhalt

Wohldefiniertheit der Äquivalenzrelation

Wiederholung: Äquivalenzrelation und Äquivalenzklasse

→ Hauptartikel: Äquivalenzrelation

Wir erinnern uns an die Definition einer Äquivalenzrelation.

Definition (Äquivalenzrelation)

Eine Äquivalenzrelation ist eine homogene, binäre Relation auf einer Grundmenge, die folgende Eigenschaften besitzt:

reflexiv
symmetrisch
transitiv

Zwei Elemente, die bezüglich einer Äquivalenzrelation in Relation stehen, heißen äquivalent. Wenn zwei Elemente $x$ und $y$ äquivalent zueinander bezüglich einer Äquivalenzrelation $R$ sind, schreibt man oft $x\sim _{R}y$ oder einfach $x\sim y$ anstatt der sonst üblichen Schreibweise $x\,R\,y$ beziehungsweise $(x,y)\in R$ . Alle Elemente, die bezüglich einer Äquivalenzrelation äquivalent sind, liegen in einer Äquivalenzklasse.

Eigenschaften von Äquivalenzklassen angewendet auf Nebenklassen

neuer grober Plan:

in $\mathbb {R} ^{2}$ sind Nebenklassen verschobene parallele Geraden, in $\mathbb {R} ^{3}$ verschobene parallele Geraden oder Ebenen (Wenn der UVR nicht trivial ist). Das soll auch mit Beispielen und Bildern veranschaulicht werden
Dass die Objekte parallel sind kann man auch durch die Äquivalenzklassen erklären:
- Äquivalenzklassen sind entweder gleich oder disjunkt
- das heißt die Geraden sind gleich oder nicht gleich und parallel
alle Geraden zusammen decken den ganzen Raum ab.
Die Nebenklassen partionieren den Raum
die beiden letzten Punkte gelten auch allgemein, nicht nur in $\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} ^{3}$
- Äquivalenzklassen sind entweder gleich oder disjunkt $\implies$ wenn sich Nebenklassen schneiden sind sie schon gleich
- alle Nebenklassen zusammen ergeben den gesamten Vektorraum.

V=\R ^2 partitioniert durch Geraden

Ausblick

To-Do:

Die Lösung von Gleichungssystemen bilden Nebenklassen

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Herleitung Nebenklasse bzw. affiner Unterraum

Geraden im R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}

Ebenen im R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}

Geraden in ( Z / 5 Z ) 2 {\displaystyle (\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{2}}

Definition Nebenklasse bzw. affiner Unterraum

Herleitung der Menge der Nebenklassen eines Unterraums

Definition der Menge der Nebenklassen eines Unterraums

Beispiele für Nebenklassen

Alter Inhalt

Wohldefiniertheit der Äquivalenzrelation

Wiederholung: Äquivalenzrelation und Äquivalenzklasse

Eigenschaften von Äquivalenzklassen angewendet auf Nebenklassen

Ausblick

Geraden im $\mathbb {R} ^{2}$

Ebenen im $\mathbb {R} ^{3}$

Geraden in $(\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{2}$