Mathe für Nicht-Freaks: Endomorphismus, Automorphismus

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Endomorphismus

To-Do:

genau erklären, warum Endomorphismen wichtig sind und was ds besondere an ihnen ist

Definition (Endomorphismus)

Ein Endomorphismus ist ein $K$ -Vektorraumhomomorphismus $f$ von einem $K$ -Vektorraum $V$ auf sich selbst, d.h. $f\colon V\to V$ .

Beispiele für Vektorraum-Endomorphismus

Beispiel (Endomorphismus)

Die Abbildung $f\colon \mathbb {Q} ^{n}\to \mathbb {Q} ^{n},\,(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})^{T}\mapsto (x_{n},x_{n-1},\ldots ,x_{1})^{T}$ ist ein Endomorphismus.

Anschauung: Endomorphismen skalieren den Raum

To-Do:

Anschauung erklären, dass lineare Abbildungen den Raum skalieren. Dies sieht man daran, dass jedes Gitter durch eine lineare Abbildung skaliert wird.

Automorphismus

Definition (Automorphismus)

Ein Automorphismus ist ein bijektiver Endomorphismus, also insbesondere ein Isomorphismus.

Beispiele für Vektorraum-Automorphismen

To-Do:

Linearität nachrechnen, wer es für nötig hält.

Aufgabe (Automorphismus)

Zeige, dass die Abbildung $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},\,(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})^{T}\mapsto (-2x_{1},-2x_{2},\ldots ,-2x_{n})^{T}$ ein Automorphismus ist.

Lösung (Automorphismus)

Linearität lässt sich leicht nachrechnen. Da Definitions- und Zielbereich gleich sind, ist $f$ also ein Endomorphismus.

Wir wollen nun zeigen, dass $f$ bijektiv ist. Dazu müssen wir zeigen, dass $f$ injektiv und surjektiv ist.

Wir beginnen mit der Injektivität. Seien $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{T}$ und $y=(y_{1},\ldots ,y_{n})^{T}\in \mathbb {R} ^{n}$ mit $f(x)=f(y)$ . Dann gilt für $i=1,\ldots ,n$ , dass $-2x_{i}=-2y_{i}$ , also $x_{i}=y_{i}$ und somit $x=y$ . Dies zeigt die Injektivität.

Nun zeigen wir die Surjektivität. Sei dazu $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{T}\in \mathbb {R} ^{n}$ . Definiere $y:=(-x_{1}/2,\ldots ,-x_{n}/2)^{T}\in \mathbb {R} ^{n}$ . Dann gilt $f(y)=x$ . Also ist $f$ surjektiv.

Wir haben also gezeigt, dass $f$ ein Automorphismus ist.

Endomorphismenring und Automorphismengruppe

Satz (Endomorphismenring)

Sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$ -Vektorraum. Die Menge $\operatorname {End} _{K}(V):=\{\,f\colon V\to V\,|\,f{\text{ Endomorphismus}}\,\}$ ist ein Ring mit der Addition $(f+g)(x):=f(x)+g(x)$ und Multiplikation $f\circ g$ .

Beweis (Endomorphismenring)

To-Do:

Beweis

Satz (Die (Nicht-)Kommutativität des Endomorphismenringes)

Sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Dann ist $\operatorname {End} _{K}(V)$ genau dann kommutativ, wenn $\dim _{K}(V)\leq 1$ .

Beweis (Die (Nicht-)Kommutativität des Endomorphismenringes)

To-Do:

beweis

Satz (Automorphismengruppe)

Sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$ -Vektorraum. Die Menge $\operatorname {Aut} _{K}(V):=\{\,f\colon V\to V\,|\,f{\text{ Automorphismus}}\,\}$ bildet eine Gruppe bezüglich der Komposition $\circ$ .

Es gilt zudem $\operatorname {Aut} _{K}(V)=\operatorname {End} _{K}(V)^{\times }$ .

Beweis (Automorphismengruppe)

To-Do:

Beweis

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