Mathe für Nicht-Freaks: Determinante besonderer Matrizen

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Für einige Matrizen mit bestimmten Eigenschaften lässt sich die Determinante besonders leicht berechnen. Hier lernen wir Beispiele dafür kennen.

Blockmatrizen

To-Do:

Blockmatrizen

Vandermonde-Determinante

Eine Matrix, die folgende Form annimmt, nennt man Vandermonde-Matrix:

{\begin{pmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\cdots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&\cdots &x_{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\cdots &x_{n}^{n-1}\end{pmatrix}}

Abkürzend benutzen wir im Folgenden für eine solche Matrix die Schreibweise $V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ . Sie ist also definiert als:

Definition (Vandermonde-Matrix)

Sei $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ ein $n$ -Tupel aus einem Körper $K$ , wir definieren $V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ als die Matrix $(a_{ij})\in K^{n\times n}$ mit $a_{ij}=x_{i}^{j-1}$ .

Ihre Determinante lässt sich besonders leicht berechnen, denn es gilt:

Satz (Vandermonde-Determinante)

Die Determinante einer Vandermonde-Matrix kann über folgende Formel berechnet werden:

\det(V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}))=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})

Beweis (Vandermonde-Determinante)

Wir beweisen die Formel der Vandermonde-Determinante per Induktion über $n$ :

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für $m\in \mathbb {N}$ bewiesen werden soll:

\det(V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}))=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})

1. Induktionsanfang:

Für $n=1$ haben wir die $1\times 1$ - Matrix $V(x_{1})=(x_{1}^{0})=(1)$ , deren Determinante $1$ ist. Die Aussage ist gezeigt, denn das Produkt ${\textstyle \prod _{1\leq i<j\leq 1}(x_{j}-x_{i})}$ ist leer, also auch $1$ .

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

Gelte die im Satz formulierte Aussage für $n-1$ , Sei also

\det(V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1}))=\prod _{i<j}(x_{j}-x_{i})=\prod _{j=2}^{n-1}\prod _{i=1}^{j-1}(x_{j}-x_{i})

2b. Induktionsbehauptung:

\det(V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}))=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})

2c. Beweis des Induktionsschritts:

Wir versuchen nun die Determinante von $V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ auf die Determinante von $V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1})$ zurückzuführen. Dazu nutzen wir die Eigenschaft der Determinante aus, dass sie beim Addieren von Vielfachen einer Zeile oder Spalte zur anderen gleich bleibt. Wir subtrahieren nun von jeder Spalte (bis auf die erste) das $x_{n}$ - fache der vorherigen Spalte. Also

{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\cdots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&\cdots &x_{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\cdots &x_{n}^{n-1}\end{pmatrix}}&=\det {\begin{pmatrix}1&x_{1}-x_{n}&x_{1}^{2}-x_{n}x_{1}&\cdots &x_{1}^{n-1}-x_{n}x_{1}^{n-2}\\1&x_{2}-x_{n}&x_{2}^{2}-x_{n}x_{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}-x_{n}x_{2}^{n-2}\\1&x_{3}-x_{n}&x_{3}^{2}-x_{n}x_{3}&\cdots &x_{3}^{n-1}-x_{n}x_{3}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}-x_{n}&x_{n}^{2}-x_{n}x_{n}&\cdots &x_{n}^{n-1}-x_{n}x_{n}^{n-2}\end{pmatrix}}\\[1em]&=\det {\begin{pmatrix}1&x_{1}-x_{n}&(x_{1}-x_{n})x_{1}&\cdots &(x_{1}-x_{n})x_{1}^{n-2}\\1&x_{2}-x_{n}&(x_{2}-x_{n})x_{2}&\cdots &(x_{2}-x_{n})x_{2}^{n-2}\\1&x_{3}-x_{n}&(x_{3}-x_{n})x_{3}&\cdots &(x_{3}-x_{n})x_{3}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n-1}-x_{n}&(x_{n-1}-x_{n})x_{n-1}&\cdots &(x_{n-1}-x_{n})x_{n-1}^{n-2}\\1&0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Entwicklung nach der letzten Zeile.}}\right.}\\[1em]&=(-1)^{n+1}\cdot \det {\begin{pmatrix}x_{1}-x_{n}&(x_{1}-x_{n})x_{1}&\cdots &(x_{1}-x_{n})x_{1}^{n-2}\\x_{2}-x_{n}&(x_{2}-x_{n})x_{2}&\cdots &(x_{2}-x_{n})x_{2}^{n-2}\\x_{3}-x_{n}&(x_{3}-x_{n})x_{3}&\cdots &(x_{3}-x_{n})x_{3}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n-1}-x_{n}&(x_{n-1}-x_{n})x_{n-1}&\cdots &(x_{n-1}-x_{n})x_{n-1}^{n-2}\end{pmatrix}}\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Multilinearität der Determinante}}\right.}\\[1em]&=(-1)^{n+1}\prod _{i=1}^{n-1}(x_{i}-x_{n})\cdot \det {\begin{pmatrix}1&x_{1}&\cdots &x_{1}^{n-2}\\1&x_{2}&\cdots &x_{2}^{n-2}\\1&x_{3}&\cdots &x_{3}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n-1}&\cdots &x_{n-1}^{n-2}\end{pmatrix}}\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Induktionsvoraussetzung}}\right.}\\[1em]&=(-1)^{n+1}\prod _{i=1}^{n-1}(x_{i}-x_{n})\prod _{j=2}^{n-1}\prod _{i=1}^{j-1}(x_{j}-x_{i})\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ (-1)^{n+1}\prod _{i=1}^{n-1}(x_{i}-x_{n})=(-1)^{2}\prod _{i=1}^{n-1}(x_{n}-x_{i})\right.}\\[1em]&=\prod _{i=1}^{n-1}(x_{n}-x_{i})\prod _{j=2}^{n-1}\prod _{i=1}^{j-1}(x_{j}-x_{i})\\[1em]&=\prod _{j=2}^{n}\prod _{i=1}^{j-1}(x_{j}-x_{i})\end{aligned}}

Dreiecksmatrizen

To-Do:

Determinante von Dreiecksmatrizen

Verständnisfrage: Was ist die Determinante der Einheitsmatrix in $K^{n\times n}$ ?

Die Einheitsmatrix ist eine Dreiecksmatrix. Daher ist ihre Determinante das Produkt der Einträge auf der Diagonalen. Diese Einträge sind alle $1$ , also ist auch die Determinante $1$ .

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