Verallgemeinerung auf abstrakte Vektorräume

• Wir haben im Artikel Hinführung zu Matrizen gesehen, wie wir eine lineare Abbildung ${\displaystyle K^{n}\to K^{m}}$ durch eine Matrix beschreiben können.
• Damit können wir lineare Abbildungen vergleichsweise einfach angeben.
• Frage ist nun: Bekommen wir in allgemeinen Vektorräumen ebenfalls eine solche Beschreibung?
• Das heißt gegeben allgemeine endlichdimensionale Vektorräume ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$, und eine lineare Abbildung ${\displaystyle f\colon V\to W}$, wie können wir ${\displaystyle f}$ vollständig beschreiben?
• Im Artikel Isomorphismus haben wir gesehen, dass jeder endlich dimensionale Vektorraum zu einem ${\displaystyle K^{m}}$ isomorph ist.
• Also gilt ${\displaystyle V\cong K^{n}}$ und ${\displaystyle W\cong K^{m}}$.
• Dieser Isomorphismus funktionierte wie folgt: Wir wählen eine geordnete Basis ${\displaystyle B=(b_{1},\dots ,b_{n})}$ von ${\displaystyle V}$. Durch Darstellung jedes Vektors in ${\displaystyle V}$ bzgl. ${\displaystyle B}$ erhalten wir die Koordinatenabbildung ${\displaystyle k_{B}\colon V\to K^{n}}$. Diese ist ein gewählter Isomorphismus ${\displaystyle V\cong K^{n}}$.
• Genauso erhalten wir obigen Isomorphismus ${\displaystyle W\cong K^{m}}$ nach Wahl einer geordneten Basis ${\displaystyle C}$ von ${\displaystyle W}$ durch die Koordinatenabbildung ${\displaystyle k_{C}\colon W\to K^{m}}$.
• Wichtig: ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle C}$ müssen geordnete Basen sein, da sich durch unterschiedliche Anordnungen einer Basis unterschiediche Koordinatenabbildungen ergeben. Wenn wir keine Reihenfolge festlegen, ist die Koordinatenabbildung nicht eindeutig bestimmt.
• ? Definition geordnete Basis wiederholen?
• Nun erhalten wir eine Bijektion zwischen ${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)}$ und ${\displaystyle \operatorname {Hom} (K^{n},K^{m})}$ durch die Zuordnung ${\displaystyle f\mapsto k_{C}\circ f\circ k_{B}^{-1}}$. Die Umkehrabbildung ist durch ${\displaystyle f\mapsto k_{C}^{-1}\circ f\circ k_{B}}$ gegeben.
• Wir können nun ${\displaystyle k_{C}\circ f\circ k_{B}^{-1}}$ wie im Artikel Hinführung zu Matrizen eine Matrix ${\displaystyle M}$ zuordnen und diese als die ${\displaystyle f}$ zugeordnete Matrix bezeichnen.
• Wir müssen mit diese "laxen" Bezeichnung vorsichtig sein! Wir haben weiter oben Basen für einen Isomorphismus wählen müssen.
• Das heißt, wir haben eigentlich mehrere Wege gefunden, eine Matrix zuzuordnen.
• Erst nachdem wir geordnete Basen gewählt haben, wurde der Weg eindeutig.
• Wir sollten also besser sagen: Die ${\displaystyle f}$ zugeordnete Matrix bezüglich der geordneten Basen ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle C}$.

Definition

• Andere Begriffe für Abbildungsmatrix nennen: Darstellungsmatrix, zugeordnete Matrix

Rechnen mit Abbildungsmatrizen

Verwendung der Abbildungsmatrix

To-Do:

Notation vereinheitlichen / an den vorherigen Abschnitten anpassen

Mit Hilfe dieser Matrix kann man den Bildvektor ${\displaystyle L(v)}$ jedes Vektors ${\displaystyle v\in V}$ berechnen. Dazu stellen wir zunächst ${\displaystyle v}$ bezüglich der Basis ${\displaystyle B}$ von ${\displaystyle V}$ dar, also ${\displaystyle v=v_{1}b_{1}+v_{2}b_{2}+\cdots +v_{n}b_{n}}$. Dann gilt wegen der Linearität von ${\displaystyle L}$

${\displaystyle L(v)=\sum _{j=1}^{n}v_{j}L(b_{j})=\sum _{j=1}^{n}v_{j}\left(\sum _{i=1}^{m}a_{ij}b_{i}^{*}\right)=\sum _{i=1}^{m}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}\right)b_{i}^{*}}$

Für die Koordinaten ${\displaystyle w_{1},w_{2},\ldots ,w_{m}}$ von ${\displaystyle L(v)}$ bezüglich ${\displaystyle B^{*}}$ gilt also

${\displaystyle w_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}}$.

Mit Hilfe der Matrizenmultiplikation mit einem Vektor ("Zeile mal Spalte") können wir dies auch so ausdrücken:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}a_{1j}v_{j}\\\sum _{j=1}^{n}a_{2j}v_{j}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}a_{mj}v_{j}\end{pmatrix}}}$

Die Matrix ${\displaystyle {\mathcal {M}}(L,B,B^{*})}$ heißt Abbildungsmatrix oder Darstellungsmatrix von ${\displaystyle L}$ bezüglich ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle B^{*}}$.

Eins zu Eins Korrespondenz zwischen Matrizen und linearen Abbildungen

• Haben oben gesehen, dass man nach fester Wahl der geordneten Basen B und C einer Abbildung f auf eindeutige Weise die Matrix M^B_C(f) zuordnen kann.
• Wir haben in der Herleitung bereits gesehen, dass wir eine Bijektion zwischen ${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)}$ und ${\displaystyle \operatorname {Hom} (K^{n},K^{m})}$ haben.
• Im Artikel Hinführung zu Matrizen haben wir gesehen, dass ${\displaystyle \operatorname {Hom} (K^{n},K^{m})\cong K^{m\times n}}$.
• Damit haben wir einen Iso ${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)\cong \operatorname {Hom} (K^{n},K^{m})\cong K^{m\times n}}$
• Die Richtung ${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)\to K^{m\times n}}$ ist genau der Weg ${\displaystyle f\mapsto M_{C}^{B}(f)}$.

• Überleitung zu ausführlichem Weg.
• Wie sieht nun die Umkehrung dieses Isomorphismusses aus?
• Wir haben im Abschnitt zur Berechnung von Abbildungsmatrizen schon einmal gesehen, dass die Spalten der Matrix genau die Bilder der Basisvektoren dargestellt in der anderen Basis sind.
• Wenn wir geordnete Basen ${\displaystyle B=(v_{1},\dots ,v_{n})}$ von ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle C=(w_{1},\dots ,w_{m})}$ von ${\displaystyle W}$ gegeben haben, wollen wir zu einer ${\displaystyle m\times n}$ Matrix ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ die Abbildung ${\displaystyle f:V\to W}$ finden, für die ${\displaystyle M_{C}^{B}(f)=A}$ gilt.
• Wir wissen, dass ${\displaystyle f(v_{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}}$ gelten muss.
• Aus dem Prinzip der linearen Fortsetzung erhalten wir eine eindeutige linerae Abbildung ${\displaystyle f:V\to W}$, die dies erfüllt.
• Diese Konstruktion macht folgendes deutlich: Die Abbildungsmatrix speichert genau wie "vorher" in der ${\displaystyle j}$-ten Spalte das Bild des ${\displaystyle j}$-ten Basisvektors ${\displaystyle v_{j}}$.
• Weil allgemeine Vektoren in ${\displaystyle W}$ nur schwer klassifizierbar sind, stellen wir diese ebenfalls in einer Basis dar. Das heißt wir erhalten

${\displaystyle (f(v_{1}),\dots ,f(v_{n}))\rightarrow ({\text{Basisdarst. von }}f(v_{1}){\text{ bzgl. }}C,\dots ,{\text{Basisdarst. von }}f(v_{n}){\text{ bzgl. }}C)}$

• Wie finden wir jetzt den Wert ${\displaystyle f(v)}$ für ein gegebenes ${\displaystyle v\in V}$?
• Wir stellen ${\displaystyle v}$ in einer bzgl. der Basis ${\displaystyle B}$ als ${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}}$ dar.
• Nun können wir eine Matrix-Vektor-Multuplikation ${\displaystyle A\cdot (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})^{T}=(\mu _{1},\dots ,\mu _{m})^{T}}$ durchführen und erhalten die Koeffizienten bzgl. ${\displaystyle C}$ von ${\displaystyle f(v)}$. Das heißt es gilt ${\displaystyle f(v)=\sum _{i=1}^{m}\mu _{i}w_{i}}$.
• Für die Basisvektoren ${\displaystyle v_{j}}$ bedeutet dies, dass ${\displaystyle a_{i}j}$ das Gewicht von ${\displaystyle w_{i}}$ im Ergebnis von ${\displaystyle f(v_{j})}$ ist.

Beispiele

Beispiel (Anschauliches Beispiel)

Wir betrachten die lineare Abbildung

${\displaystyle L\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2},L{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x-3y\\x-2y+z\end{pmatrix}}}$

Sowohl im Urbildraum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ als auch im Zielraum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ wird die kanonische Standardbasis gewählt:

${\displaystyle B=\left({\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right)\,,\quad C=\left({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right)}$

Es gilt:

${\displaystyle L{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}},\quad L{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}},\quad L{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$

Damit ist die Abbildungsmatrix von ${\displaystyle L}$ bezüglich der gewählten Basen ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle C}$:

${\displaystyle M_{C}^{B}(L)={\begin{pmatrix}2&-3&0\\1&-2&1\end{pmatrix}}}$

Beispiel (Anschauliches Beispiel mit anderer Basis)

Wir betrachten wieder die lineare Abbildung ${\displaystyle L}$ des obigen Beispiels, also

${\displaystyle L\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2},L{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x-3y\\x-2y+z\end{pmatrix}}}$

Diesmal verwenden wir im Zielraum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ die geordnete Basis

${\displaystyle C'=\left({\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\right)}$

verwendet. Nun gilt:

${\displaystyle L\left({\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}=1\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}+0\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle L\left({\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}}=-1\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}-1\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle L\left({\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=-1\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}+2\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$

Damit erhält man für Abbildungsmatrix von ${\displaystyle L}$ bezüglich der Basen ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle C'}$:

${\displaystyle M_{C'}^{B}(L)={\begin{pmatrix}1&-1&-1\\0&-1&2\end{pmatrix}}}$

• Wir sehen also, hier explizit, dass die Abbildungsmatrix von der Wahl der Basis abhängt und nicht nur von der Abbildung.
• Umgekehrt könnnen aber auch verschiedene Abbildungen die gleiche Abbildungsmatrix haben, wenn man sie zu verschiedenen Basen darstellt:

Beispiel (Anschauliches Beispiel mit anderer Abbildung und gleicher Matrix)

TODO Beispiel für Abbildug

${\displaystyle L\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2},L{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x-y-z\\-y+2z\end{pmatrix}}}$

mit der Standardbasis ergänzen.

• Wir können noch ein komplizierteres Beispiel anschauen: