Mathe für Nicht-Freaks: Äußere direkte Summe und direktes Produkt

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Motivation

Beispiel: Wetterdienst hat mehrere Messpunkte
Speichert zu jedem Messpunkt Temperatur und Windrichtung in zwei getrennten Listen
die eine Liste hat Einträge in R, die andere in R^2
Idee: beide Listen in eine Liste kombinieren
Welche Einträge muss die Liste haben?
Um das zu speichern, braucht man also ein 2-Tupel bestehend aus einer Zahl und einem 2-Tupel
Man kombiniert 2 Vektorräume zu einem neuen, und zwar auf die kleinst-mögliche Weise, sodass man alle Informationen unabhängig speichern kann

ODER:

Beispiel: Mehrteilchensystem
Man betrachte die Position von $n=3$ Teilchen im drei-dimensionalen Raum.
Diese Situation kann durch den Vektorraum $\mathbb {R} ^{3n}$ dargestellt werden.
Durch Hinzunahme eines weiteren Teilchens zur Betrachtung, muss der Vektorraum vergrößert werden, ohne dass die bereits bestehende Vektorraumstruktur verloren geht.
Dies kann man durch das direkte Produkt des Vektorraums $\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Vektorraum $\mathbb {R} ^{3}$ , der das neu hinzukommende Teilchen modelliert, realisiert werden.

ODER:

Konto oder Rezepte

ODER:

Lineare Abbildung R nach R + eine Verschiebung ergibt die affin-linearen Abbildungen. Außerdem darauf hinweisen, dass diese Dinger in der Schule schlechterweise als "lineare Abbildungen" bezeichnet werden.

Definition

Wir definieren die direkte Summe von zunächst endlich vielen $K$ -Vektorräumen.

Definition (Äußere direkte Summe)

Sei $K$ ein Körper, $n\in \mathbb {N} _{0}$ und seien $V_{1},\dots ,V_{n}$ $K$ -Vektorräume. Die äußere direkte Summe von $V_{1},\dots ,V_{n}$ ist definiert durch

{\begin{aligned}\bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}:=V_{1}\oplus \dots \oplus V_{n}:=V_{1}\times \dots \times V_{n}:=\left\{\,(v_{1},\dots ,v_{n})\,\mid \,v_{i}\in V_{i},i=1,\dots ,n\,\right\}\end{aligned}}

zusammen mit der Addition

{\begin{aligned}+\,\colon \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}\times \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}&\to \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}\\((v_{1},\dots ,v_{n}),(w_{1},\dots ,w_{n}))&\mapsto (v_{1},\dots ,v_{n})+(w_{1},\dots ,w_{n}):=(v_{1}+w_{1},\dots ,v_{n}+w_{n})\end{aligned}}

und der Multiplikation

{\begin{aligned}\cdot \,\colon K\times \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}&\to \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}\\(\lambda ,(v_{1},\dots ,v_{n}))&\mapsto \lambda \cdot (v_{1},\dots ,v_{n}):=(\lambda \cdot v_{1},\dots ,\lambda \cdot v_{n}).\end{aligned}}

Hinweis

Die Vektorräume $V_{i}$ in der Definition sind in der Regel verschieden. Die Addition der direkten Summe wird definiert über die verschiedenen Additionen der $V_{i}$ . Analoges gilt für die Skalarmultiplikation.

Hinweis

Im Fall $n=0$ ist die direkte Summe der triviale $K$ -Vektorraum $0$ .

Definition (Kurzschreibweise falls alle Vektorräume gleich sind)

Gilt $V=V_{i}$ für alle $i$ , wobei $V$ ein $K$ -Vektorraum ist, (d.h. alle Vektorräume sind gleich), so schreiben wir auch

{\begin{aligned}V^{n}:=\bigoplus _{i=1}^{n}V=\bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}.\end{aligned}}

Die direkte Summe ist ein Vektorraum

Satz (Die direkte Summe ist ein Vektorraum)

Die direkte Summe bildet mit den oben definierten Operationen einen Vektorraum

Wie kommt man auf den Beweis? (Die direkte Summe ist ein Vektorraum)

Wir gehen vor wie im Artikel Beweise für Vektorräume führen, in dem wir der Reihe nach die 8 Vektorraumaxiome prüfen.

Die Definition von $+,\cdot$ ist genau so gewählt, dass sich die Operationen $+,\cdot$ der Vektorräume $V_{i}$ "auf natürliche Weise auf $\bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ übertragen".

Beweis (Die direkte Summe ist ein Vektorraum)

Wir werden die acht Vektorraumaxiome nachprüfen.

Beweisschritt: Assoziativität der Addition

Seien $v=(v_{1},\cdots ,v_{n}),w=(w_{1},\cdots ,w_{n}),u=(u_{1},\cdots ,u_{n})\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ . Dann gilt:

{\begin{aligned}(v+w)+u&=((v_{1},\cdots ,v_{n})+(w_{1},\cdots ,w_{n}))+(u_{1},\cdots ,u_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}+\right.}\\[0.3em]&=(v_{1}+w_{1},\cdots ,v_{n}+w_{n})+(u_{1},\cdots ,u_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}+\right.}\\[0.3em]&=((v_{1}+w_{1})+u_{1},\cdots ,(v_{n}+w_{n})+u_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativität der Addition in }}V_{i}\right.}\\[0.3em]&=(v_{1}+(w_{1}+u_{1}),\cdots ,v_{n}+(w_{n}+u_{n}))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}+\right.}\\[0.3em]&=(v_{1},\cdots ,v_{n})+(w_{1}+u_{1},\cdots ,w_{n}+u_{n})=v+(w+u).\end{aligned}}

Damit ist die Assoziativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Kommutativität der Addition

Seien $v=(v_{1},\cdots ,v_{n}),w=(w_{1},\cdots ,w_{n})\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ . Dann gilt:

{\begin{aligned}v+w&=(v_{1},\cdots ,v_{n})+(w_{1},\cdots ,w_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}+\right.}\\[0.3em]&=(v_{1}+w_{1},\cdots ,v_{n}+w_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kommutativität der Addition in }}V_{i}\right.}\\[0.3em]&=(w_{1}+v_{1},\cdots ,w_{n}+v_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}+\right.}\\[0.3em]&=(w_{1},\cdots ,w_{n})+(v_{1},\cdots ,v_{n})=w+v.\end{aligned}}

Damit ist die Kommutativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Neutrales Element der Addition

Wir müssen noch zeigen, dass es ein neutrales Element $0\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ gibt, für das gilt

v+0=v

für alle

v\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}

Da wir alle Eigenschaften auf die entsprechenden Eigenschaften in $V_{i}$ zurückführen, nutzen wir hier das neutrale Element der Addition $0\in V_{i}$ , um das neutrale Element der Addition $0\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ zu konstruieren. Also setzen wir

0=(\underbrace {0,0,\cdots ,0} _{n})\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}.

Wir müssen noch die Neutralität des neutralen Elements der Addition prüfen, also $v+0=v$ :

Dazu sei $v=(v_{1},\cdots ,v_{n})\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ . Dann gilt:

v+0=(v_{1}+0,\cdots ,v_{n}+0)=(v_{1},\cdots ,v_{n})=v.

Damit haben wir gezeigt, dass $0\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ das neutrale Element der Addition ist.

Beweisschritt: Inverse bezüglich der Addition

Sei $v=(v_{1},\cdots ,v_{n})\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ . Wir müssen zeigen, dass es ein $w\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ gibt, sodass $v+w=0$ .

Wir wollen dieses Problem wieder auf die Eigenschaften der Rechenoperationen in $V_{i}$ zurückführen. In $V_{i}$ gilt, wenn $v_{i},w_{i}\in V_{i}$ und $v_{i}+w_{i}=0$ , dann ist $w_{i}=-v_{i}$ . Daher wählen wir für $w$ das $n$ -Tupel $(-v_{1},\cdots ,-v_{n})$ als potenzielles Inverses. Dann gilt:

v+w=(v_{1}+(-v_{1}),\cdots ,v_{n}+(-v_{n}))=(\underbrace {0,\cdots ,0} _{n})=0

Damit haben wir gezeigt, dass es zu einem beliebigen $v\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ ein $w\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ gibt mit $v+w=0$ .

Beweisschritt: Skalares Distributivitätsgesetz

Seien $\lambda ,\mu \in K$ und $v=(v_{1},\cdots ,v_{n})\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ . Dann gilt:

{\begin{aligned}(\lambda +\mu )\cdot v&=(\lambda +\mu )\cdot (v_{1},\cdots ,v_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\cdot \right.}\\[0.3em]&=((\lambda +\mu )\cdot v_{1},\cdots ,(\lambda +\mu )\cdot v_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivität in }}V_{i}\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot v_{1}+\mu \cdot v_{1},\cdots ,\lambda \cdot v_{n}+\mu \cdot v_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}+\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot v_{1},\cdots ,\lambda \cdot v_{n})+(\mu \cdot v_{1},\cdots ,\mu \cdot v_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\cdot \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot (v_{1},\cdots ,v_{n}))+(\mu \cdot (v_{1},\cdots ,v_{n}))\\[0.3em]&=(\lambda \cdot v)+(\mu \cdot v).\end{aligned}}

Damit ist das skalare Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Vektorielles Distributivitätsgesetz

Seien $\lambda \in K$ und $v=(v_{1},\cdots ,v_{n}),w=(w_{1},\cdots ,w_{n})\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ . Dann gilt:

{\begin{aligned}\lambda \cdot (v+w)&=\lambda \cdot ((v_{1},\cdots ,v_{n})+(w_{1},\cdots ,w_{n}))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}+\right.}\\[0.3em]&=\lambda \cdot (v_{1}+w_{1},\cdots ,v_{n}+w_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\cdot \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot (v_{1}+w_{1}),\cdots ,\lambda \cdot (v_{n}+w_{n}))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivität in }}V_{i}\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot v_{1}+\lambda \cdot w_{1},\cdots ,\lambda \cdot v_{n}+\lambda \cdot w_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}+\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot v_{1},\cdots ,\lambda \cdot v_{n})+(\lambda \cdot w_{1},\cdots ,\lambda \cdot w_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\cdot \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot (v_{1},\cdots ,v_{n}))+(\lambda \cdot (w_{1},\cdots ,w_{n}))\\[0.3em]&=(\lambda \cdot v)+(\lambda \cdot w).\end{aligned}}

Damit ist das vektorielle Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Assoziativität bezüglich Multiplikation

Seien $\lambda ,\mu \in K$ und $v=(v_{1},\cdots ,v_{n})\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ . Dann gilt:

{\begin{aligned}(\lambda \cdot \mu )\cdot v&=(\lambda \cdot \mu )\cdot (v_{1},\cdots ,v_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\cdot \right.}\\[0.3em]&=((\lambda \cdot \mu )\cdot v_{1},\cdots ,(\lambda \cdot \mu )\cdot v_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativität der Skalarmultiplikation in }}V_{i}\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot (\mu \cdot v_{1}),\cdots ,\lambda \cdot (\mu \cdot v_{n}))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\cdot \right.}\\[0.3em]&=\lambda \cdot (\mu \cdot v_{1},\cdots ,\mu \cdot v_{n}))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\cdot \right.}\\[0.3em]&=\lambda \cdot (\mu \cdot (v_{1},\cdots ,v_{n}))\\[0.3em]&=\lambda \cdot (\mu \cdot v).\end{aligned}}

Damit ist das Assoziativgesetz für die Multiplikation gezeigt.

Beweisschritt: Unitäres Gesetz

Sei $v=(v_{1},\cdots ,v_{n})\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ . Dann gilt:

1_{K}\cdot v=1_{K}\cdot (v_{1},\cdots ,v_{n})=(1_{K}\cdot v_{1},\cdots ,1_{K}\cdot v_{n})=(v_{1},\cdots ,v_{n})=v.

Somit haben wir das unitäre Gesetz gezeigt.

Damit haben wir alle acht Vektorraumaxiome gezeigt und somit ist $(\bigoplus _{i=1}^{n}V_{i},+,\cdot )$ ein $K$ -Vektorraum.

Universelle Eigenschaft

Fordwardlink zu linearen Abbildungen
Hinweis, dass dieses Thema eher more advanced ist

MOTIVATION!!!!

Sei $n\in \mathbb {N}$ und seien $V_{1},\dots ,V_{n}$ $K$ -Vektorräume.

Definition (Projektionsabbildungen)

Für $j\in \{1,\dots ,n\}$ definieren wir die Projektionsabbildung

{\begin{aligned}\pi _{j}:\bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}&\to V_{j}\\(v_{1},\dots ,v_{n})&\mapsto v_{j}.\end{aligned}}

Satz (Die Projektionsabbildungen sind linear und surjektiv)

Sei $j\in \{1,\dots ,n\}$ . Dann ist die Projektionsabbildung $\pi _{j}$ linear und surjektiv.

Beweis (Die Projektionsabbildungen sind linear und surjektiv)

Sei $j\in \{1,\dots ,n\}$ . Wir zeigen zunächst die Linearität von $\pi _{j}$ .

Beweisschritt: Linearität

Wir müssen die Additivität und die Homogenität von $\pi _{j}$ zeigen.

Beweisschritt: Additivität

Seien $(v_{1},\dots ,v_{n}),(w_{1},\dots ,w_{n})\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ . Dann gilt

{\begin{aligned}\pi _{j}((v_{1},\dots ,v_{n})+(w_{1},\dots ,w_{n}))=\pi _{j}((v_{1}+w_{1},\dots ,v_{n}+w_{n}))=v_{j}+w_{j}=\pi _{j}((v_{1},\dots ,v_{n}))+\pi _{j}((w_{1},\dots ,w_{n})).\end{aligned}}

Beweisschritt: Homogenität

Sei $\lambda \in K$ und $(v_{1},\dots ,v_{n})\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ Dann gilt

{\begin{aligned}\pi _{j}(\lambda \cdot (v_{1},\dots ,v_{n}))=\pi _{j}((\lambda \cdot v_{1},\dots ,\lambda \cdot v_{n}))=\lambda \cdot v_{j}=\lambda \cdot \pi _{j}((v_{1},\dots ,v_{n})).\end{aligned}}

Nun zeigen wir noch, dass $\pi _{j}$ surjektiv ist.

Beweisschritt: Surjektivität

Sei dazu $v\in V_{j}$ . Setze für alle $i\in \{1,\dots ,n\}$

{\begin{aligned}v_{i}={\begin{cases}0\in V_{i},&{\text{falls }}i\neq j\\v\in V_{j},&{\text{falls }}i=j.\end{cases}}\end{aligned}}

Dann ist $(v_{1},\dots ,v_{j},\dots ,v_{n})\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ , und es gilt $\pi _{j}(v_{1},\dots ,v_{n})=v_{j}=v$ . Also ist $\pi _{j}$ surjektiv.

Definition (Inklusionsabbildungen)

Für $j\in \{1,\dots ,n\}$ definieren wir die Inklusionsabbildung

{\begin{aligned}\iota _{j}:V_{j}&\to \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}\\v&\mapsto (0,\dots ,0,\underbrace {v} _{{\text{Stelle }}j},0,\dots ,0).\end{aligned}}

Satz (Die Inklusionsabbildungen sind linear und injektiv)

Sei $j\in \{1,\dots ,n\}$ . Dann ist die Inklusionsabbildung $\iota _{j}$ linear und injektiv.

Beweis (Die Inklusionsabbildungen sind linear und injektiv)

Sei $j\in \{1,\dots ,n\}$ . Wir zeigen zunächst die Linearität von $\iota _{j}$ .

Beweisschritt: Linearität

Wir müssen die Additivität und die Homogenität von $\pi _{j}$ zeigen.

Beweisschritt: Additivität

Seien $v,w\in V_{j}$ . Dann gilt

{\begin{aligned}\iota _{j}(v+w)=(0,\dots ,0,\underbrace {v+w} _{{\text{Stelle }}j},0,\dots ,0)=(0,\dots ,0,\underbrace {v} _{{\text{Stelle }}j},0,\dots ,0)+(0,\dots ,0,\underbrace {w} _{{\text{Stelle }}j},0,\dots ,0)=\iota _{j}(v)+\iota _{j}(w).\end{aligned}}

Beweisschritt: Homogenität

Sei $\lambda \in K$ und $v\in V_{j}$ Dann gilt

{\begin{aligned}\iota _{j}(\lambda \cdot v)=(0,\dots ,0,\underbrace {\lambda \cdot v} _{{\text{Stelle }}j},0,\dots ,0)=\lambda \cdot (0,\dots ,0,\underbrace {v} _{{\text{Stelle }}j},0,\dots ,0)=\lambda \cdot \iota _{j}(v)\end{aligned}}

Nun zeigen wir noch, dass $\iota _{j}$ injektiv ist.

Beweisschritt: Injektivität

Es genügt zu zeigen, dass für den Kern gilt $\ker(\iota _{j})=0$ Sei dazu $v\in \ker(\iota _{j})\subseteq V_{j}$ . Dies bedeutet, dass $0=\iota _{j}(v)=(0,\dots ,0,\underbrace {v} _{{\text{Stelle }}j},0,\dots ,0)$ . Es folgt also sofort, dass $v=0$ gilt. Also ist $\ker(\iota _{j})=0$ und damit $\iota _{j}$ injektiv.

Satz (Universelle Produkteigenschaft der direkten Summe)

Sei $W$ ein $K$ -Vektorraum. Angenommen, wir haben lineare Abbildungen $f_{j}\colon W\to V_{j}$ für alle $j\in \{1,\dots ,n\}$ .

Dann existiert genau eine lineare Abbildung $f\colon W\to \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ sodass $\pi _{j}\circ f=f_{j}$ für alle $j\in \{1,\dots ,n\}$ .

Beweis (Universelle Produkteigenschaft der direkten Summe)

Wir müssen die Eindeutigkeit und Existenz solcher Abbildungen $f$ zeigen.

Beweisschritt: Eindeutigkeit

Angenommen, wir haben eine solche Abbildung $f$ . Sei $w\in W$ beliebig. Sei $(v_{1},\dots ,v_{n})=f(w)\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ das Bild von $w$ unter $f$ . Das bedeutet, $v_{i}\in V_{i}$ für alle $i\in \{1,\dots ,n\}$ . Da $\pi _{j}\circ f=f_{j}$ , gilt also $f_{j}(w)=\pi _{j}(f(w))=\pi _{j}(v_{1},\dots ,v_{n})=v_{j}$ für alle $j$ . Somit sind die $v_{j}$ also bereits durch die Abbildungen $f_{j}$ eindeutig bestimmt. Dies zeigt die Eindeutigkeit der Abbildung $f$ .

Die einzige Abbildung, die also in Frage kommt, ist gegeben durch $f(w)=(f_{1}(w),\dots ,f_{n}(w))$ . Wir müssen nun noch nachprüfen, dass diese Abbildung eine lineare Abbildung ist, und dass sie die Bedingung $\pi _{j}\circ f=f_{j}$ auch tatsächlich erfüllt für alle $j=1,\dots ,n$ .

Beweisschritt: Linearität der gefundenen Abbildung $f$

Wir zeigen Additivität und Homogenität

Beweisschritt: Additivität

Seien $w_{1},w_{2}$ in $W$ . Dann gilt

{\begin{aligned}f(w_{1}+w_{2})&=(f_{1}(w_{1}+w_{2}),\dots ,f_{n}(w_{1}+w_{2}))\\&=(f_{1}(w_{1})+f_{1}(w_{2}),\dots ,f_{n}(w_{1})+f_{n}(w_{n}))\\&=(f_{1}(w_{1}),\dots ,f_{n}(w_{1}))+(f_{1}(w_{2}),\dots ,f_{n}(w_{2}))\\&=f(w_{1})+f(w_{2}).\end{aligned}}

Beweisschritt: Homogenität

Sei $w$ in $W$ und $\lambda \in K$ . Dann gilt

{\begin{aligned}f(\lambda \cdot w)&=(f_{1}(\lambda \cdot w),\dots ,f_{n}(\lambda \cdot w))\\&=(\lambda \cdot f_{1}(w),\dots ,\lambda \cdot f_{n}(w)\\&=\lambda \cdot (f_{1}(w),\dots ,f_{n}(w))\\&=\lambda \cdot f(w).\end{aligned}}

Beweisschritt: $\pi _{j}\circ f=f_{j}$ für alle $j=1,\dots ,n$ .

Sei $j\in \{1,\dots ,n\}$ . Sei $w\in W$ . Dann gilt

{\begin{aligned}(\pi _{j}\circ f)(w)=\pi _{j}(f(w))=\pi _{j}((f_{1}(w),\dots ,f_{n}(w)))=f_{j}(w).\end{aligned}}

Das zeigt die Behauptung.

Satz (Universelle Koprodukteigenschaft der direkten Summe)

Sei $W$ ein $K$ -Vektorraum. Angenommen, wir haben lineare Abbildungen $g_{j}\colon V_{j}\to W$ für alle $j\in \{1,\dots ,n\}$ .

Dann existiert genau eine lineare Abbildung $g\colon \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}\to W$ sodass $g\circ \iota _{j}=g_{j}$ für alle $j\in \{1,\dots ,n\}$ .

Beweis (Universelle Koprodukteigenschaft der direkten Summe)

Wir müssen die Eindeutigkeit und Existenz solcher Abbildungen $f$ zeigen.

Beweisschritt: Eindeutigkeit

Angenommen, wir haben eine solche Abbildung $g$ . Sei $(v_{1},\dots ,v_{n})\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ beliebig. Sei $w=g((v_{1},\dots ,v_{n}))$ das Bild unter $g$ . Man kann sich leicht überlegen, dass

{\begin{aligned}(v_{1},\dots ,v_{n})=\sum _{i=1}^{n}\iota _{i}(v_{i}).\end{aligned}}

Da $g\circ \iota _{j}=g_{j}$ , gilt also

{\begin{aligned}g((v_{1},\dots ,v_{n}))&=g(\sum _{i=1}^{n}\iota _{i}(v_{i}))\\&=\sum _{i=1}^{n}g(\iota _{i}(v_{i}))\\&=\sum _{i=1}^{n}g_{i}(v_{i}).\end{aligned}}

Somit ist $g((v_{1},\dots ,v_{n}))$ also bereits durch die Abbildungen $g_{i}$ eindeutig bestimmt. Dies zeigt die Eindeutigkeit der Abbildung $g$ .

Die einzige Abbildung, die also in Frage kommt, ist gegeben durch $g((v_{1},\dots ,v_{n}))=\sum _{i=1}^{n}g_{i}(v_{i})$ . Wir müssen nun noch nachprüfen, dass diese Abbildung eine lineare Abbildung ist, und die geforderten Bedingungen erfüllt.

Beweisschritt: Linearität der gefundenen Abbildung $g$

Wir zeigen Additivität und Homogenität

Beweisschritt: Additivität

Seien $(v_{1},\dots ,v_{n}),(w_{1},\dots ,w_{n})$ in $\bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ . Dann gilt

{\begin{aligned}g((v_{1},\dots ,v_{n})+(w_{1},\dots ,w_{n}))&=g((v_{1}+w_{1},\dots ,v_{n}+w_{n}))\\&=\sum _{i=1}^{n}g_{i}(v_{i}+w_{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}g_{i}(v_{i})+g_{i}(w_{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}g_{i}(v_{i})+\sum _{i=1}^{n}g_{i}(w_{i})\\&=g((v_{1},\dots ,v_{n}))+g((w_{1},\dots ,w_{n})).\end{aligned}}

Beweisschritt: Homogenität

Sei $(v_{1},\dots ,v_{n})$ in $\bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ und $\lambda \in K$ . Dann gilt

{\begin{aligned}g(\lambda \cdot (v_{1},\dots ,v_{n}))&=g((\lambda \cdot v_{1},\dots ,\lambda \cdot v_{n}))\\&=\sum _{i=1}^{n}g_{i}(\lambda \cdot v_{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}\lambda \cdot g_{i}(v_{i})\\&=\lambda \cdot \sum _{i=1}^{n}g_{i}(v_{i})\\&=\lambda \cdot g((v_{1},\dots ,v_{n})).\end{aligned}}

Beweisschritt: $g\circ \iota _{j}=g_{j}$

Sei also $j\in \{1,\dots ,n\}$ und $v\in V_{j}$ . Setze für alle $i\in \{1,\dots ,n\}$

{\begin{aligned}v_{i}={\begin{cases}0\in V_{i},&{\text{falls }}i\neq j\\v\in V_{j},&{\text{falls }}i=j.\end{cases}}\end{aligned}}

Dann gilt

{\begin{aligned}g(\iota _{j}(v))&=g((0,\dots ,0,\underbrace {v} _{{\text{Stelle }}j},0,\dots ,0))\\&=g((v_{1},\dots ,v_{n}))\\&=\sum _{i=0}^{n}g_{i}(v_{i})\\&=g_{j}(v_{j})+\sum _{i\neq j}g_{i}(v_{i})\\&=g_{j}(v_{j})+\sum _{i\neq j}g_{i}(0)\\&=g_{j}(v_{j})+\sum _{i\neq j}0\\&=g_{j}(v_{j}).\end{aligned}}

Also ist $g\circ \iota _{j}=g_{j}$ .

Satz (Die direkte Summe wird durch die Produkteigenschaft charakterisiert)

Sei $X$ ein $K$ -Vektorraum, zusammen mit linearen Abbildungen $\rho _{j}\colon X\to V_{j}$ für alle $j\in \{1,\dots ,n\}$ , sodass $X$ die Produkteigenschaft erfüllt.

Dann gibt es genau einen Isomorphismus $\phi \colon X\to \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ sodass gilt $\phi \circ \pi _{j}=\rho _{j}$ für alle $j\in \{1,\dots ,n\}$ .

Beweis (Die direkte Summe wird durch die Produkteigenschaft charakterisiert)

To-Do:

Muss man machen

Satz (Die direkte Summe wird durch die Koprodukteigenschaft charakterisiert)

Sei $X$ ein $K$ -Vektorraum, zusammen mit linearen Abbildungen $\kappa _{j}\colon V_{j}\to X$ für alle $j\in \{1,\dots ,n\}$ , sodass $X$ die Koprodukteigenschaft erfüllt.

Dann gibt es genau einen Isomorphismus $\psi \colon \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}\to X$ sodass gilt $\iota _{j}\circ \psi =\kappa _{j}$ für alle $j\in \{1,\dots ,n\}$ .

Beweis (Die direkte Summe wird durch die Koprodukteigenschaft charakterisiert)

To-Do:

Muss man machen

Bemerkung: man nennt das universelle Eigenschaft, weil man das auch bis auf "kanonische Isomorphie" zur Definition verwenden könnte

Beziehung zur inneren direkten Summe

Wir haben nun zwei Konzepte mit der Bezeichnung "direkte Summe" kennengelernt: Die äußere direkte Summe und die innere direkte Summe. Beide haben wir auch mit dem Symbol $\oplus$ notiert. Das ist kein Zufall. Wir wollen nun erklären, warum. Tatsächlich sind diese Konzepte in gewisser Weise äquivalent. Wir wollen dies im Fall endlicher Indexmengen genauer erläutern.

Wir haben gesehen, dass es injektive Einbettungsabbildungen $\iota _{j}\colon V_{j}\to \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ gibt. Über diese Abbildungen können wir Unterräume $U_{j}:=\operatorname {im} (\iota _{j})\subseteq \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ definieren. Es gilt dabei $V_{j}\cong U_{j}$ via $\iota _{j}$ .

Dann gilt:

Satz (Innere und äußere direkte Summe)

$\bigoplus _{i=1}^{n}U_{i}=\bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ , wobei wir links die innere direkte Summe der Unterräume $U_{i}$ und rechts die äußere direkte Summe der Vektorräume $V_{i}$ betrachten.

Beweis (Innere und äußere direkte Summe)

Wir müssen zeigen, dass $\sum _{i=1}^{n}U_{i}=\bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ , sowie die verallgemeinerte Schnittbedingung: Für alle $1\leq j\leq n$ gilt $U_{j}\cap \sum _{i=1 \atop i\neq j}^{n}U_{i}=0$ .

Beweisschritt: $\sum _{i=1}^{n}U_{i}=\bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$

Die Inklusion $\subseteq$ ist klar, da die $U_{i}$ Unterräume der rechten Seite sind.

Sei also nun $v\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ . Dann existieren $v_{i}\in V_{i}$ , sodass $v=(v_{1},\dots ,v_{n})$ . Sei $u_{i}:=\iota _{i}(v_{i})\in U_{i}$ für alle $1\leq i\leq n$ . Dann gilt $v=\sum _{i=1}^{n}\iota _{i}(v_{i})=\sum _{i=1}^{n}u_{i}\in \sum _{i=1}^{n}U_{i}$ .

Beweisschritt: Verallgemeinerte Schnittbedingung

Sei $1\leq i\leq n$ . Sei $v=(v_{1},\dots ,v_{n})\in U_{j}\cap \sum _{i=1 \atop i\neq j}^{n}U_{i}$ . Wir wollen zeigen, dass $v=0$ gilt. Dazu reicht es, zu zeigen, dass alle $v_{i}=0$ sind. Da $v\in U_{j}$ liegt, gilt $v=\iota _{j}(v_{j})$ . Daraus folgt sofort, dass $v_{i}=0$ für $i\neq j$ . Andererseits ist $v\in \sum _{i=1 \atop i\neq j}^{n}U_{i}$ , woraus auch $v_{j}=0$ folgt.

Damit folgt die Behauptung.

Beispiele & Aufgaben

Beispiel (Koordinatenraum)

Wir haben bereits den Koordinatenraum gesehen. Diesen kann man auch als direkte Summe, bei der alle Summanden gleich $K$ sind, auffassen. Es gilt also

{\begin{aligned}K^{n}:=\bigoplus _{i=1}^{n}K.\end{aligned}}

Dies sieht man, indem man die Definitionen vergleicht.

Beispiel (Parametrisierung von Strecken)

Eine gerichtete Strecke im $\mathbb {R} ^{3}$ lässt sich durch ihren Start- und ihren Endpunkt charakterisieren. Diese beiden Punkte sind Elemente von $\mathbb {R} ^{3}$ . Die Menge aller gerichteten Strecken ist also parametrisiert durch die direkte Summe $\mathbb {R} ^{3}\oplus \mathbb {R} ^{3}$ .

Beispiel (Computerspiele)

Wir betrachten ein Online-Computerspiel, bei dem jeder Spieler eine 2D-Position hat. Wenn 100 Spieler online sind, können wir die Positionen aller Spieler als ein Element von $\bigoplus _{i=1}^{100}\mathbb {R} ^{2}$ auffassen. Es ist üblich, dass nicht mehrmals pro Sekunde die Positionen aller Spieler neu übertragen werden, sondern stattdessen die Veränderung ihrer Position. Dies ist wiederum ein Element von $\bigoplus _{i=1}^{100}\mathbb {R} ^{2}$ . Addiert man es (im Vektorraum $\bigoplus _{i=1}^{100}\mathbb {R} ^{2}$ ) zum alten Zustand, so erhält man den neuen Zustand.

Aufgabe (Rechenregeln)

Sei $V$ ein $K$ -Vektorraum und $m,n\in \mathbb {N}$ . Mache dir folgende "Rechenregeln" klar:

die Vektorräume $V$ und $V\oplus 0$ "sind gleich",

wobei $0$ den Nullvektorraum bezeichnet.

die Vektorräume $V^{n}\oplus V^{m}$ und $V^{n+m}$ "sind gleich".
die Vektorräume $(V^{n})^{m}$ und $V^{nm}$ "sind gleich".

Vergleiche dies mit den Potenzgesetzen für natürliche Zahlen.

Lösung (Rechenregeln)

To-Do:

TODO

Hinweis

Für die folgenden beiden Aufgaben brauchst du den Begriff des Isomorphismus. Falls du diesen Begriff noch nicht kennst, kannst du diese Aufgaben getrost überspringen.

Aufgabe (Kommutativität)

Seien $V,W$ zwei $K$ -Vektorräume. Zeige, dass die direkte Summe kommutativ ist, d.h. dass $V\oplus W$ und $W\oplus V$ isomorph sind.

Lösung (Kommutativität)

To-Do:

TODO

Aufgabe (Assozitativiät)

Seien $V,W,X$ zwei $K$ -Vektorräume. Zeige, dass die direkte Summe assoziativ ist, d.h. dass $(V\oplus W)\oplus X$ und $V\oplus (W\oplus X)$ isomorph sind.

Lösung (Assozitativiät)

To-Do:

TODO

Unendliche viele Summanden

anhand von universeller eigenschaft, von der nur noch die Hälfte gilt; Beispiel Polynomring und Potenzreihenring (als Vektorräume)

Definition direkte Summe und direktes Produkt für unendliche viele Summanden

Universelle Eigenschaft reloaded

Beziehung innere und äußere direkte Summe für unendlich viele Summanden

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