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Ist ${\displaystyle V}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle K}$-Vektorraum, so heißt ${\displaystyle \mathrm {X} _{f}:K\rightarrow K,\lambda \mapsto \det \left(f-\lambda \cdot \mathrm {id} \right)}$ das charakteristische Polynom des Endomorphismus ${\displaystyle f:V\rightarrow V}$.

Die Eigenwerte von ${\displaystyle f}$ sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, denn:

${\displaystyle \det \left(f-\lambda \cdot \mathrm {id} \right)=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle f-\lambda \cdot \mathrm {id} }$ ist nicht Injektiv.

${\displaystyle \Leftrightarrow }$ Der Kern von ${\displaystyle f-\lambda \cdot \mathrm {id} }$ ist nicht null.

${\displaystyle \Leftrightarrow }$ Es gibt ein ${\displaystyle v\in V\setminus \left\{0\right\}}$ mit ${\displaystyle f(v)-\lambda \cdot \mathrm {id} (v)=0}$.

${\displaystyle \Leftrightarrow }$ Es gibt ein ${\displaystyle v\in V\setminus \left\{0\right\}}$ mit ${\displaystyle f(v)=\lambda \cdot v}$

${\displaystyle \Leftrightarrow }$ Es gibt einen Eigenvektor ${\displaystyle v\in V\setminus \left\{0\right\}}$ von ${\displaystyle f}$ zum Eigenwert ${\displaystyle \lambda }$.