Ing Mathematik: Wurzel

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Für jedes $x\in \mathbb {R}$ gilt, dass $x^{2}\geq 0$
Ist $x,y\in \mathbb {R} ;\;x>0\ \wedge \ y>0;\$ , so gilt $x<y\;\Leftrightarrow \;x^{2}<y^{2}$
$x\in \mathbb {R} ;\;0<x<1\;\Rightarrow \;x^{2}<x$
$x\in \mathbb {R} ;\;x>1\;\Rightarrow \;x^{2}>x$ .

Wurzel aus x: Es sei $x\in \mathbb {R} ;\ x\geq 0$ . Die eindeutig bestimmte nichtnegative Zahl $y={\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}$ nennt man Wurzel aus x.

Geometrisches Mittel: Es gelte $a,b\in \mathbb {R} \ \wedge \ 0\leq a\leq b\$ . ${\sqrt {ab}}$ heißt geometrisches Mittel.

Beziehung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel: Es gelte $a\geq 0\ \wedge b\geq 0$ , sowie $a,b\in \mathbb {R}$ . Dann ist ${\sqrt {ab}}\leq {\frac {a+b}{2}}$ .

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