Assoziativgesetz

${\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b} )+\mathbf {c} =\mathbf {a} +(\mathbf {b} +\mathbf {c} )}$

Kommutativgestz

${\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} =\mathbf {b} +\mathbf {a} }$

Nullvektor

Der Nullvektor ist das neutrale Element der Vektoraddition.

${\displaystyle \mathbf {o} =(0,\ldots ,0)\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbf {o} +\mathbf {a} =\mathbf {a} +\mathbf {o} =\mathbf {a} }$

Differenzvektor

${\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {c} =\mathbf {b} }$ läßt sich stets umformen zu ${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {b} -\mathbf {a} }$. ${\displaystyle \mathbf {c} }$ sei in diesem Fall der Differenzvektor.

Beispiel

Gegeben seien die Vektoren ${\displaystyle \mathbf {a} =(1,-1,5)}$ und ${\displaystyle \mathbf {b} =(2,0,1)}$. Gesucht sind ${\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} }$ und ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} }$.

${\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} ={\begin{pmatrix}1\\-1\\5\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\-1\\6\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} ={\begin{pmatrix}1\\-1\\5\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\-1\\4\end{pmatrix}}}$

Assoziativgesetz

${\displaystyle (\alpha \beta )\mathbf {a} =\alpha (\beta \mathbf {a} )}$

Distributivgesetze

${\displaystyle (\alpha +\beta )\mathbf {a} =\alpha \mathbf {a} +\beta \mathbf {a} }$

${\displaystyle \alpha (\mathbf {a} +\mathbf {b} )=\alpha \mathbf {a} +\alpha \mathbf {b} }$

Gegenvektor

${\displaystyle -\mathbf {a} =\left(-a_{1},\ldots ,-a_{n}\right)={\begin{pmatrix}-a_{1}\\\vdots \\-a_{n}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {a} +(-\mathbf {a} )=\mathbf {o} }$

Parallelität

Die zwei Vektoren a und b sind dann parallel, wenn gilt

${\displaystyle \mathbf {a} =\lambda \mathbf {b} \ ;\quad \lambda \in \mathbb {R} \wedge \lambda \neq 0}$

${\displaystyle \lambda >0}$: gleichsinnig parallel

${\displaystyle \lambda <0}$: gegensinnig parallel

Beispiel

Sind die Vektoren ${\displaystyle \mathbf {a} =(5,1,-1)}$ und ${\displaystyle \mathbf {b} =12(4,1,-1)-(63,15,-15)}$ zueinander parallel?

${\displaystyle \mathbf {b} =12{\begin{pmatrix}4\\1\\-1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}63\\15\\-15\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-15\\-3\\3\end{pmatrix}}=-3{\begin{pmatrix}5\\1\\-1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \Rightarrow \;\mathbf {b} =-3\mathbf {a} \;\Rightarrow \;\mathbf {a} ||\mathbf {b} }$.

Norm eines Vektors

Die Norm (Länge) eines Vektors a ist gegeben durch

${\displaystyle \|\mathbf {a} \|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}={\sqrt {a_{1}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}}}$

${\displaystyle \|\alpha \mathbf {a} \|=|\alpha |\|\mathbf {a} \|}$

Vektoren mit der Länge Eins heißen Einheitsvektoren. Normiert man einen Vektor a, so bringt man ihn auf die Länge Eins

${\displaystyle \mathbf {a} _{0}={\frac {\mathbf {a} }{\|\mathbf {a} \|}}}$

Das Skalarprodukt ist auch definiert durch

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\cos(\angle )}$

wobei ${\displaystyle \angle }$ den Winkel zwischen den Vektoren a und b bezeichnet.

Kommutativgesetz

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} }$

Assoziativgesetz gilt nicht

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\neq (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} }$

Distributivgesetz

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} }$

Chauchy-Schwarzsche Ungleichung

${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}\leq \|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}}$

Dreiecksungleichung

${\displaystyle \|\mathbf {a} +\mathbf {b} \|\leq \|\mathbf {a} \|+\|\mathbf {b} \|}$

Beispiel: Parallelogrammgleichung

Es ist folgende Gleichung herzuleiten

${\displaystyle \|\mathbf {a} +\mathbf {b} \|^{2}+\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \|^{2}=2\left(\|\mathbf {a} \|^{2}+\|\mathbf {b} \|^{2}\right)}$

Lösung:

${\displaystyle \|\mathbf {a} +\mathbf {b} \|^{2}=(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} +\mathbf {b} )}$

${\displaystyle \|\mathbf {a} -\mathbf {b} \|^{2}=(\mathbf {a} -\mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} -\mathbf {b} )}$

${\displaystyle \|\mathbf {a} +\mathbf {b} \|^{2}+\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \|^{2}=\mathbf {a} \mathbf {a} +\mathbf {a} \mathbf {b} +\mathbf {a} \mathbf {b} +\mathbf {b} \mathbf {b} +\mathbf {a} \mathbf {a} -\mathbf {a} \mathbf {b} -\mathbf {a} \mathbf {b} +\mathbf {b} \mathbf {b} =2\mathbf {a} \mathbf {a} +2\mathbf {b} \mathbf {b} }$

und somit, wie zu zeigen war

${\displaystyle \|\mathbf {a} +\mathbf {b} \|^{2}+\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \|^{2}=2\left(\|\mathbf {a} \|^{2}+\|\mathbf {b} \|^{2}\right)}$

Orthogonalsystem

Die Vektoren ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\in \mathbb {R} ^{n}}$ bilden ein Orthogonalsystem, wenn

1. ${\displaystyle \forall i\quad \mathbf {a} _{i}\neq \mathbf {o} }$
2. ${\displaystyle \forall (i\neq j)\quad \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {a} _{j}=0}$

Gilt zusätzlich noch

${\displaystyle \forall i:\;\|\mathbf {a} _{i}\|=1}$

dann bilden die Vektoren ein Orthonormalsystem.

Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren

Wikipedia: Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren

Beispiel: Satz von Thales

Es ist der Satz von Thales "Jeder Peripheriewinkel über dem Durchmesser eines Kreises beträgt 90°" zu überprüfen.

Lösung:

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {r} +\mathbf {c} }$

${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {r} -\mathbf {c} }$

${\displaystyle \|\mathbf {r} \|=\|\mathbf {c} \|}$

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =(\mathbf {r} +\mathbf {c} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {c} )=\mathbf {r} \mathbf {r} +\mathbf {r} \mathbf {c} -\mathbf {r} \mathbf {c} -\mathbf {c} \mathbf {c} =\|\mathbf {r} \|^{2}-\|\mathbf {c} \|^{2}=0}$

${\displaystyle \Rightarrow \;\mathbf {a} \bot \mathbf {b} }$

Natürliche Basis

Die Einheitsvektoren (Basisvektoren)

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}},\;\cdots \;,\mathbf {e} _{n}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}}$

nennt man natürliche Basis des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Für diese Basisvektoren gilt das sogenannte Kronecker-Delta

${\displaystyle \delta _{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}={\begin{cases}1,&{\mbox{wenn}}\ i=k\\0,&{\mbox{wenn}}\ i\neq k\end{cases}}}$

Für einen beliebigen Vektor ${\displaystyle \mathbf {x} =\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}}$ gilt

${\displaystyle \mathbf {x} =x_{1}\mathbf {e} _{1}+\ldots +x_{n}\mathbf {e} _{n}}$

${\displaystyle x_{1}\mathbf {e} _{1},\ldots ,x_{n}\mathbf {e} _{n}}$ nennt man die Komponenten des Vektors bezüglich der natürlichen Basis des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Richtungskosinus

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {e} _{i}=\|\mathbf {x} \|\cos \alpha _{i}}$

daraus folgt

${\displaystyle \cos \alpha _{i}={\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {e} _{i}}{\|\mathbf {x} \|}}={\frac {x_{i}}{\|\mathbf {x} \|}}}$

Beispiel

Gesucht ist der Winkel, den der Vektor ${\displaystyle \mathbf {a} =(3,-1,-5)}$ mit dem Basisvektor ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$ einschließt.

Lösung:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{1}=\|\mathbf {a} \|\cos \angle }$

${\displaystyle \cos \angle ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{1}}{\|\mathbf {a} \|}}={\frac {3}{\sqrt {35}}}}$

${\displaystyle \angle =1,04\ {\rm {rad}}}$

Skalare Projektion

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\|\mathbf {b} \|\underbrace {\|\mathbf {a} \|\cos \angle } _{\|\mathbf {a} _{\mathbf {b} }\|}}$

Daraus folgt die Gleichung für die skalare Projektion des Vektors a auf b

${\displaystyle \|\mathbf {a} _{\mathbf {b} }\|={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\|\mathbf {b} \|}}}$

Vektorprojektion

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathbf {b} }=\|\mathbf {a} _{\mathbf {b} }\|\ \mathbf {b} _{0}}$

${\displaystyle \mathbf {b} _{0}={\frac {\mathbf {b} }{\|\mathbf {b} \|}}}$

Daraus folgt

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\|\mathbf {b} \|^{2}}}\mathbf {b} }$

Beispiel

Gegeben ist ein Vektor ${\displaystyle \mathbf {a} =(3,-1,-5)}$. Gesucht ist der Winkel, den die Orthogonalprojektion des Vektors a auf die ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}}$-Ebene mit dem ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$-Basisvektor einschließt.

Lösung:

${\displaystyle \mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{1}}{\|\mathbf {e} _{1}\|}}\mathbf {e} _{1}=a_{1}\mathbf {e} _{1}=(3,0,0)}$

${\displaystyle \mathbf {a} _{2}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{2}}{\|\mathbf {e} _{2}\|}}\mathbf {e} _{2}=a_{2}\mathbf {e} _{2}=(0,-1,0)}$

${\displaystyle \mathbf {a} _{12}=\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}=(3,-1,0)}$

Dieses Zwischenergebnis hätte man natürlich auch direkt aus der Skizze ermitteln können, dann wäre aber der Witz dieses Beispiels verloren gegangen.

${\displaystyle \cos \angle ={\frac {\mathbf {a} _{12}\mathbf {e} _{1}}{\|\mathbf {a} _{12}\|}}={\frac {3}{\sqrt {10}}}}$

${\displaystyle \angle =0,32\ {\rm {rad}}}$

Regeln

• Das Vektorprodukt ist nicht kommutativ: ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =-(\mathbf {b} \times \mathbf {a} )}$
• Orthogonalität: ${\displaystyle (\mathbf {a} \;\bot \;\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\wedge (\mathbf {b} \;\bot \;\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$
• Parallelität: ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {o} \Leftrightarrow {\begin{cases}\mathbf {a} =\mathbf {o} \;\vee \;\mathbf {b} =\mathbf {o} \\\mathbf {a} \|\mathbf {b} \end{cases}}}$
• Lagrangesche Identität: ${\displaystyle \|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}}$
• Parallelogramm: ${\displaystyle F_{\Diamond }=\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\sin \angle =\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|}$ ist der Flächeninhalt des von den Vektoren ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$ aufgespannten Parallelogrammes. ${\displaystyle \angle }$ ist der von a und b eingeschlossene Winkel.
• Distributivgesetz: ${\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b} )\times \mathbf {c} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )+(\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}$
• ${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} +(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} }$

Rechnungen

${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{2}a_{3}-a_{3}a_{2}\\a_{3}a_{1}-a_{1}a_{3}\\a_{1}a_{2}-a_{2}a_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} \times \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}b_{2}a_{3}-b_{3}a_{2}\\b_{3}a_{1}-b_{1}a_{3}\\b_{1}a_{2}-b_{2}a_{1}\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}=-\mathbf {A} \times \mathbf {B} }$

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {B} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )&=&{\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}c_{1}+a_{2}b_{1}c_{2}+a_{3}b_{1}c_{3}\\a_{1}b_{2}c_{1}+a_{2}b_{2}c_{2}+a_{3}b_{2}c_{3}\\a_{1}b_{3}c_{1}+a_{2}b_{3}c_{2}+a_{3}b_{3}c_{3}\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}c_{1}+a_{2}b_{2}c_{1}+a_{3}b_{3}c_{1}\\a_{1}b_{1}c_{2}+a_{2}b_{2}c_{2}+a_{3}b_{3}c_{2}\\a_{1}b_{1}c_{3}+a_{2}b_{2}c_{3}+a_{3}b_{3}c_{3}\end{pmatrix}}\\&=&{\begin{pmatrix}a_{2}b_{1}c_{2}+a_{3}b_{1}c_{3}-a_{2}b_{2}c_{1}-a_{3}b_{3}c_{1}\\a_{1}b_{2}c_{1}+a_{3}b_{2}c_{3}-a_{1}b_{1}c_{2}-a_{3}b_{3}c_{2}\\a_{1}b_{3}c_{1}+a_{2}b_{3}c_{2}-a_{1}b_{1}c_{3}-a_{2}b_{2}c_{3}\end{pmatrix}}\end{matrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )&=&{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2}\\b_{3}c_{1}-b_{1}c_{3}\\b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}\end{pmatrix}}&=&{\begin{pmatrix}a_{2}b_{1}c_{2}-a_{2}b_{2}c_{1}-a_{3}b_{3}c_{1}+a_{3}b_{1}c_{3}\\a_{3}b_{2}c_{3}-a_{3}b_{3}c_{2}-a_{1}b_{1}c_{2}+a_{1}b_{2}c_{1}\\a_{1}b_{3}c_{1}-a_{1}b_{1}c_{3}-a_{2}b_{2}c_{3}+a_{2}b_{3}c_{2}\end{pmatrix}}\\&=&\mathbf {B} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )&&\end{matrix}}}$

${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$

${\displaystyle \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)_{i}=\epsilon _{ijk}\mathbf {A} _{j}\mathbf {B} _{k}}$

Beispiel

Gesucht ist ein normierter Normalenvektor auf die beiden Vektoren ${\displaystyle \mathbf {a} =(1,1,0),\ \mathbf {b} =(5,4,1)}$.

Lösung:

${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},\ a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},\ a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right)=(1,-1,-1)}$

${\displaystyle \|\mathbf {n} \|={\sqrt {3}}}$

${\displaystyle \mathbf {n} _{0}={\frac {1}{\sqrt {3}}}(1,-1,-1)}$

Regeln

• Unabhängigkeit: Die Vektoren a, b, c sind linear unabhängig,wenn ${\displaystyle {\mathcal {h}}\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} {\mathcal {i}}\neq 0}$
• Rechtssystem: ${\displaystyle {\mathcal {h}}\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} {\mathcal {i}}>0}$
• Linkssystem: ${\displaystyle {\mathcal {h}}\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} {\mathcal {i}}<0}$
• Spatvolumen: ${\displaystyle V_{spat}=|{\mathcal {h}}\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} {\mathcal {i}}|}$
• Vertauschungssatz: ${\displaystyle {\mathcal {h}}\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} {\mathcal {i}}={\mathcal {h}}\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\mathbf {a} {\mathcal {i}}={\mathcal {h}}\mathbf {c} ,\mathbf {a} ,\mathbf {b} {\mathcal {i}}=-{\mathcal {h}}\mathbf {b} ,\mathbf {a} ,\mathbf {c} {\mathcal {i}}=-{\mathcal {h}}\mathbf {a} ,\mathbf {c} ,\mathbf {b} {\mathcal {i}}=-{\mathcal {h}}\mathbf {c} ,\mathbf {b} ,\mathbf {a} {\mathcal {i}}}$

Gerade durch Punkt und Richtung

Gegeben sei ein Punkt A (Ortsvektor a) und ein Richtungsvektor c. Der Punkt X liegt auf der Geraden g (${\displaystyle X\in g}$) wenn,

${\displaystyle g:\;\mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {c} ,\quad \lambda \in \mathbb {R} \;\wedge \;\mathbf {a} ,\mathbf {c} \in \mathbb {R} ^{n}}$

Obige Gleichung nennt man auch eine Parameterdarstellung (Parameter ${\displaystyle \lambda }$).

Gerade durch zwei Punkte

Die Gerade sei durch die Punkte A und B gegeben (Ortsvektoren a,b). Der Punkt X liegt auf der Geraden g (${\displaystyle X\in g}$) wenn,

${\displaystyle g:\;\mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda (\mathbf {b} -\mathbf {a} ),\quad \lambda \in \mathbb {R} \;\wedge \;\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}}$

Die Punkte A, B und X heißen kollinear, d.h. diese drei Punkte liegen auf der gleichen Geraden.

Ebene durch einen Punkt und zwei Richtungen

Gegeben sei ein Punkt A (Ortsvektor a) und zwei Richtungsvektoren c,d. Der Punkt X liegt in der Ebene E (${\displaystyle X\in E}$) wenn,

${\displaystyle E:\;\mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {c} +\mu \mathbf {d} ,\quad \lambda ,\mu \in \mathbb {R} \;\wedge \;\mathbf {a} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} \in \mathbb {R} ^{n}}$

Die Ebene E wird also durch die zwei Geraden g und h aufgespannt.

Ebene durch drei Punkte

Gegeben seinen drei Punkte A, B und C (Ortsvektoren a,b,c). Der Punkt X liegt in der der Ebene E (${\displaystyle X\in E}$) wenn,

${\displaystyle E:\;\mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda (\mathbf {b} -\mathbf {a} )+\mu (\mathbf {c} -\mathbf {a} ),\quad \lambda ,\mu \in \mathbb {R} \;\wedge \;\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \in \mathbb {R} ^{n}}$

Die Ebene kann in diesem Fall auch über das Spatprodukt definiert werden:

${\displaystyle V_{Spat}=|{\mathcal {h}}\mathbf {x} -\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} -\mathbf {a} ,\;\mathbf {c} -\mathbf {a} {\mathcal {i}}|}$

Da die Punkte B, C und X in einer Ebene liegen, ist ${\displaystyle V_{Spat}=0}$ und

${\displaystyle E:\;{\mathcal {h}}\mathbf {x} -\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} -\mathbf {a} ,\;\mathbf {c} -\mathbf {a} {\mathcal {i}}=0}$

Hessesche Normalform

n sei ein Normalenvektor zur Ebene E. Es gilt ${\displaystyle \mathbf {n} \;\bot \;(\mathbf {x} -\mathbf {a} )}$, und somit

${\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {a} )=0}$

Dividiert man diese Gleichung durch die Norm des Normalenvektors ${\displaystyle \|\mathbf {n} \|}$, so erhält man die Ebenengleichung in der Hesseschen Normalform

${\displaystyle E:\mathbf {n} _{0}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {a} )=0}$

In Koordinatenschreibweise

Aus der Parameterdarstellung

${\displaystyle E:\mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {b} +\mu \mathbf {c} \ ;\quad \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}}$

erhält man in Koordinaten angeschrieben

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{1}=a_{1}+\lambda b_{1}+\mu c_{1}\\x_{2}=a_{2}+\lambda b_{2}+\mu c_{2}\\x_{3}=a_{3}+\lambda b_{3}+\mu c_{3}\\\end{matrix}}}$

Eliminiert man ${\displaystyle \lambda ,\ \mu }$ aus diesen Gleichungen, so erhält man die sogenannte Abschnittsform der Ebenengleichung

${\displaystyle E:\;ax+by+cz=d}$

Winkel zwischen Geraden

Gegeben sind zwei Geraden im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle g:\mathbf {x} _{1}=\mathbf {a} +\lambda \mathbf {b} }$

${\displaystyle h:\mathbf {x} _{2}=\mathbf {a} +\mu \mathbf {c} }$

Den Winkel zwischen den beiden Geraden g und h kann man über das Skalarprodukt gewinnen

${\displaystyle \cos \angle ={\frac {\mathbf {x} _{1}\cdot \mathbf {x} _{2}}{\|\mathbf {x} _{1}\|\|\mathbf {x} _{2}\|}}}$

Normale: Abstand Punkt - Ebene

Gegeben sei ein Punkt P und eine Ebene E. D sei der Durchstoßpunkt von n durch die Ebene E.

Der Abstand von Punkt P zu Ebene E ist ${\displaystyle \delta ={\overline {PD}}=\|\mathbf {p} -\mathbf {d} \|}$

Direkt aus der Abbildung oder auch mittels der Hesseschen Ebenengleichung ergibt sich

${\displaystyle (\mathbf {d} -\mathbf {a} )\cdot \mathbf {n} =0}$

Weiters ist

${\displaystyle \mathbf {d} =\mathbf {p} +\lambda \mathbf {n} }$

Aus den beiden vorigen Gleichungen kann man nun ${\displaystyle \lambda }$ ermitteln

${\displaystyle (\mathbf {p} +\lambda \mathbf {n} -\mathbf {a} )\mathbf {n} =0}$

${\displaystyle (\mathbf {p} -\mathbf {a} )\mathbf {n} +\lambda \mathbf {n} \mathbf {n} =0}$

${\displaystyle \lambda =-{\frac {(\mathbf {p} -\mathbf {a} )\mathbf {n} }{\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} }}=-{\frac {(\mathbf {p} -\mathbf {a} )\mathbf {n} }{\|\mathbf {n} \|^{2}}}}$

Und somit ist

${\displaystyle \delta =\|\mathbf {p} -\mathbf {p} +{\frac {(\mathbf {p} -\mathbf {a} )\mathbf {n} }{\|\mathbf {n} \|^{2}}}\mathbf {n} \|=\|\underbrace {(\mathbf {p} -\mathbf {a} )\mathbf {n} _{0}} _{k}\mathbf {n_{0}} \|=|k|\|\mathbf {n} _{0}\|=|k|=|(\mathbf {p} -\mathbf {a} )\mathbf {n} _{0}|}$

Gerade als Schnitt zweier Ebenen

Eine Gerade im Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ kann man auch in der Form

${\displaystyle g={\begin{cases}E_{1}:\ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=c\\E_{2}:\ b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2}+b_{3}x_{3}=d\end{cases}}}$

darstellen. Natürlich dürfen die Ebenen hierbei nicht parallel liegen.

Beispiel: Gegeben sei eine Gerade ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {b} }$ mit ${\displaystyle \mathbf {a} =(1,1,0),\ \mathbf {b} =(3,4,-2),\ \lambda \in \mathbb {R} }$. Gesucht sind die beiden Ebenen, welche g als Schnittgerade besitzen.

${\displaystyle x_{1}=\ 1+3\lambda }$

${\displaystyle x_{2}=\ 1+4\lambda }$

${\displaystyle x_{3}=\ -2\lambda }$

Daraus folgt

${\displaystyle \lambda =-{\frac {x_{3}}{2}}}$

und schließlich ist

${\displaystyle E_{1}:\ x_{1}+{\frac {3}{2}}x_{3}=1}$

${\displaystyle E_{2}:\ x_{2}+2x_{3}=1}$

Beispiel: Gegeben seinen zwei Ebenen ${\displaystyle E_{1}:\;x_{1}+x_{2}+x_{3}=1;\;E_{2}:\;x_{1}+x_{3}=-3}$. Gesucht ist die Schnittgerade in Parameterdarstellung.

Wir wählen z.B.: ${\displaystyle x_{1}=\ \lambda }$

und berechnen sukzessive

${\displaystyle x_{3}=\ -3-\lambda }$

${\displaystyle x_{2}=\ 4}$

Somit ist die Darstellung der Geraden in Parameterform

${\displaystyle g:\;\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\4\\-3\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}}$

Durchstoßpunkt einer Geraden durch eine Ebene

Es gibt drei Möglichkeiten:

• Die Gerade g schneidet die Ebene E in einem Punkt
• Die Gerade liegt parallel zur Ebene, aber nicht in der Ebene
• Die Gerade liegt in der Ebene

Beispiel: Gegeben sei eine Gerade ${\displaystyle g:\;\mathbf {b} ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}-1\\5\\0\end{pmatrix}}\ ;\;\alpha =\mathbb {R} }$ und eine Ebene ${\displaystyle E:\;x_{1}+x_{2}+x_{3}=0}$. Der Durchstosspunkt der Gerade durch die Ebene soll berechnet werden.

Gerade g:

${\displaystyle x_{2}=\ 5\left(1-x_{1}\right)}$

${\displaystyle x_{3}=\ 0}$

Ebene E:

${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=\ 0}$

Das sind drei Gleichungen für drei Unbekannte, aufgelöst

Durchstosspunkt ${\displaystyle D={\begin{pmatrix}{\frac {5}{4}}\\-{\frac {5}{4}}\\0\end{pmatrix}}}$

Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {n} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {n} \|\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)}$

Daraus kann man leicht den Winkel ${\displaystyle \alpha }$ ausrechnen.

Ähnlich funktioniert die Bestimmung eines Winkels zwischen zwei Ebenen. Dort verwendet man eben die Normalenvektoren der beiden Ebenen zur Winkelberechnung.