Rechenregeln

• ${\displaystyle a^{0}\ =1}$
• ${\displaystyle a^{1}\ =a}$
• ${\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}}$
• ${\displaystyle r={\frac {p}{q}}:\;a^{r}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}}$
• ${\displaystyle a^{n+m}=a^{n}\cdot a^{m}}$
• ${\displaystyle a^{n-m}={\frac {a^{n}}{a^{m}}}}$
• ${\displaystyle a^{n\cdot m}=(a^{n})^{m}}$
• ${\displaystyle a^{n}\cdot b^{n}=(a\cdot b)^{n}}$

Natürliche Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion zur Basis e (e = 2,718..., Eulersche Zahl) kann für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$folgendermaßen definiert werden

• ${\displaystyle e^{z}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {z^{i}}{i!}}}$

oder

• ${\displaystyle e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}}$

Rechenregeln

• ${\displaystyle a^{\log _{a}x}=x}$
• ${\displaystyle \log _{a}\left(a^{x}\right)=x}$
• ${\displaystyle \log _{a}\left(1\right)=0}$
• ${\displaystyle \log _{a}\left(a\right)=1}$
• ${\displaystyle \log _{a}\left(xy\right)=\log _{a}x+\log _{a}y}$
• ${\displaystyle \log _{a}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}x-\log _{a}y}$
• ${\displaystyle \log _{a}\left({\frac {1}{x}}\right)=-\log _{a}x}$
• ${\displaystyle \log _{a}\left(x^{y}\right)=y\log _{a}x}$
• ${\displaystyle {\frac {\log _{a}x}{\log _{a}y}}={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}y}}}$

Wichtige Basen

Umrechnung zwischen verschiedenen Basen

${\displaystyle x=a^{\log _{a}x}=b^{\log _{b}x}}$

${\displaystyle b=a^{\log _{a}b}}$

eingesetzt

${\displaystyle a^{\log _{a}x}=a^{\log _{a}b^{\log _{b}x}}=a^{\log _{b}x\cdot \log _{a}b}}$

daraus folgt, dass

${\displaystyle \log _{a}x=\log _{b}x\cdot \log _{a}b}$

sein muss.

Alternativ kann man diese Beziehung auch aus der Rechenregel

${\displaystyle {\frac {\log _{a}x}{\log _{a}y}}={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}y}}}$

ableiten.

${\displaystyle {\frac {\log _{a}x}{\log _{a}b}}={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}b}}}$

${\displaystyle \log _{a}x=\log _{b}x\cdot \log _{a}b}$

Das Bogenmaß

Das Bogenmaß ist definiert als dimensionslose Größe

${\displaystyle \phi \ ={\frac {s}{r}}}$

Bekannt ist der Umfang eines Kreises

${\displaystyle U=2\pi r=\phi _{V}\cdot r}$.

Somit gilt für den Vollkreis

${\displaystyle \phi _{V}\ =\ 2\pi }$

Genauso wird das Bogenmaß definiert. 360° entsprechen ${\displaystyle 2\ \pi }$ im Bogenmaß. Das Bogenmaß ist eigentlich dimensionslos, wird aber oft mit der Einheit Radiant [rad] versehen.

Winkel in [°]	Bogenmaß in [1] oder in [rad]
1	${\displaystyle {\frac {2\pi }{360}}={\frac {\pi }{180}}}$
45	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$
~57,3	1
90	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$
180	${\displaystyle \pi \ }$
360	${\displaystyle 2\pi \ }$

Umrechnung von Graden in das Bogenmaß:

${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{180}}\varphi }$

mit ${\displaystyle \phi \ }$ in [rad] und ${\displaystyle \varphi }$ in [°].

Sind Kreisbogenlänge und Radius gleich lang, dann wird ${\displaystyle \phi \ =\ 1}$. Am Einheitskreis enspricht das Bogenmaß der Kreisbogenlänge.

Die trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis

Sinus und Cosinus

sin x ist eine schiefsymmetrische Funktion, während cos x eine symmetrische Funktion repräsentiert, d.h.

• ${\displaystyle \sin(-x)\ =\ -\sin x}$
• ${\displaystyle \cos(-x)\ =\ \cos x}$

Sinus und Kosinus sind periodische Funktionen, es gilt:

• ${\displaystyle \sin(x+2k\pi )\ =\ \sin x}$
• ${\displaystyle \cos(x+2k\pi )\ =\ \cos x}$

Des Weiteren gilt:

• ${\displaystyle \cos(x)\ =\ \sin(x-{\frac {\pi }{2}})}$

Definition:

• ${\displaystyle \sin x=\Im \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$
• ${\displaystyle \cos x=\Re \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}$

Daraus folgt unmittelbar die Eulerformel:

${\displaystyle e^{ix}=\Re \left(e^{ix}\right)+\Im \left(e^{ix}\right)=\cos x+i\sin x}$

Direkt aus den Verhältnissen am Einheitskreis läßt sich mittels des Satzes von Pythagoras die Beziehung

${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x\ =\ 1}$

ableiten.

Alternativ muss sich natürlich auch aus der obigen Definiton selbiges Ergebnis ableiten lassen:

${\displaystyle e^{ix}e^{-ix}\ =\ e^{ix-ix}\ =\ 1}$

${\displaystyle e^{ix}\ =\ \cos x+i\sin x}$ ${\displaystyle e^{-ix}\ =\ \cos x-i\sin x}$

${\displaystyle e^{ix}e^{-ix}\ =\ \sin ^{2}x+\cos ^{2}x\ =\ 1}$

Am Einheitskreis läßt sich auch leicht erkennen, dass

• ${\displaystyle |\sin x|\ \leq 1}$
• ${\displaystyle |\cos x|\ \leq 1}$

sein muss.

Tangens und Cotangens

Umkehrfunktionen zu den trigonometrischen Funktionen