Mengenlehre und DE MORGANsche Regeln

${\displaystyle P({\bar {A}}\cup {\bar {B}})=P({\overline {A\cap B}})}$

und

${\displaystyle P({\bar {A}}\cap {\bar {B}})=P({\overline {A\cup B}})}$

Kombinatorik

Zufallsstichproben

Anzahl der möglichen Stichproben vom Umfang n aus einer Grundgesamtheit vom Umfang N:

	Ohne Zurücklegen	Mit Zurücklegen
Mit	${\displaystyle {\frac {N!}{(N-n)!}}}$	${\displaystyle N^{n}}$
Ohne Berücksichtigung der Reihenfolge	${\displaystyle {N \choose n}}$	${\displaystyle {N+n-1 \choose n}}$

Definition der Wahrscheinlichkeit

(Symmetrieprinzip oder Prinzip nach LAPLACE) Jedes Ergebnis A aus der Ergebnismenge Ω sei gleich häufig. |A| ist die Zahl der Ergebnisse,

die durch A belegt werden (Anzahl der günstigen Ergebnisse), |Ω| ist die Zahl aller möglichen Ergebnisse. Es ist

${\displaystyle P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}.}$

Axiome der Wahrscheinlichkeiten (Kolmogoroff): Gegeben sind zwei Ereignisse A,B ⊂ Ω.

1. ${\displaystyle P(A)\geq 0\;.}$ Nichtnegativität
2. ${\displaystyle P(\Omega )=1\;.}$ Normiertheit
3. ${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)\;,}$ falls A und B disjunkt sind.

Additionssatz

Für zwei Ereignisse A, B aus Ω gilt :

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).}$

Für drei Ereignisse A, B, C aus Ω gilt analog :

${\displaystyle {\begin{array}{cl}P(A\cup B\cup C)=&P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)\\&-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C).\end{array}}}$

Falls die Ereignisse disjunkt sind, gilt

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B).}$

${\displaystyle P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C).}$

BAYES Theorem

Für zwei Ereignisse ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ mit ${\displaystyle P(B)>0}$ lässt sich die Wahrscheinlichkeit von

${\displaystyle A}$ unter der Bedingung, dass ${\displaystyle B}$ eingetreten ist, angeben durch die Wahrscheinlichkeit von

${\displaystyle B}$ unter der Bedingung, dass ${\displaystyle A}$ eingetreten ist:

${\displaystyle P(A\mid B)\;=\;{\frac {P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}}}$.

Hierbei ist

${\displaystyle P(A\mid B)}$ die (bedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ${\displaystyle A}$ unter der Bedingung, dass ${\displaystyle B}$ eingetreten ist,

${\displaystyle P(B\mid A)}$ die (bedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ${\displaystyle B}$ unter der Bedingung, dass ${\displaystyle A}$ eingetreten ist,

${\displaystyle P(A)}$ die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ${\displaystyle A}$ und

${\displaystyle P(B)}$ die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ${\displaystyle B}$.

Endlich viele Ereignisse:

Wenn ${\displaystyle A_{i},\;i=1,\dotsc ,N}$ eine Zerlegung der Ergebnismenge in disjunkte Ereignisse ist, gilt für die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle P(A_{i}\mid B)}$

${\displaystyle P(A_{i}\mid B)\;=\;{\frac {P(B\mid A_{i})\cdot P(A_{i})}{P(B)}}\;=\;{\frac {P\left(B\mid A_{i}\right)\cdot P(A_{i})}{\sum \limits _{j=1}^{N}P\left(B\mid A_{j}\right)\cdot P(A_{j})}}}$.

Den letzten Umformungsschritt bezeichnet man auch als Marginalisierung.

Da ein Ereignis ${\displaystyle A}$ und sein Komplement ${\displaystyle {\overline {A}}}$ stets eine Zerlegung der Ergebnismenge darstellen, gilt insbesondere

${\displaystyle P(A\mid B)\;=\;{\frac {P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B\mid A)\cdot P(A)+P(B\mid {\overline {A}})\cdot P({\overline {A}})}}}$.