Übersicht

Es ist ${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O} \subset \mathbb {S} .}$ Dabei sind ${\displaystyle \mathbb {N} }$ die natürlichen, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ die ganzen, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ die rationalen, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ die reellen, und ${\displaystyle \mathbb {C} }$ die komplexen Zahlen. ${\displaystyle \mathbb {H} }$ sind die Quaternionen ${\displaystyle \mathbb {O} }$ die Oktonionen und ${\displaystyle \mathbb {S} }$ die Sedenionen.

${\displaystyle \mathbb {C} }$ enthält die (rein) imaginären Zahlen als echte Teilmenge. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ beginnt je nach Festlegung bei 0 oder 1. Zur Verdeutlichung kann man ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ bzw. ${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$ schreiben.

Rationale Zahlen

Jede rationale Zahl ${\displaystyle r}$ lässt sich als gemeiner Bruch (Quotient zweier ganzer Zahlen) schreiben: ${\displaystyle r={\frac {a}{b}}.}$ ${\displaystyle a}$ heißt Zähler, ${\displaystyle b}$ Nenner.

${\displaystyle r}$ heißt	echt (eigentlich)	für ${\displaystyle 0<|a|<|b|,\ 0<|r|<1}$
	unecht (uneigentlich)	für ${\displaystyle 0<|b|<|a|,\ 1<|r|}$
	reduziert	für ${\displaystyle \operatorname {ggT} (a,b)=1}$
	Stammbruch	für ${\displaystyle |a|=1}$
	Zweigbruch	für ${\displaystyle |a|\neq 1}$

Übersicht

Rechenart		Gerade oder direkte		Umgekehrte oder indirekte
Grundrechenarten	1.Stufe	Addition (addieren; zusammenzählen)		Subtraktion (subtrahieren; abziehen)
		${\displaystyle 7+9=16\ }$	${\displaystyle a+b=c\ }$	${\displaystyle 16-9=7\ }$ ${\displaystyle 16-7=9\ }$	${\displaystyle c-b=a\ }$ ${\displaystyle c-a=b\ }$
		Summand plus Summand gleich Summe		Minuend minus Subtrahend gleich Differenz
	2.Stufe	Multiplikation (multiplizieren; malnehmen)		Division (dividieren; teilen)
		${\displaystyle 3+3+3+3=3\cdot 4=12}$	${\displaystyle \underbrace {a+a+a+...} }$ b gleiche Summanden ${\displaystyle =a\cdot b=c\ }$	${\displaystyle 12:4=3\ }$	${\displaystyle c:b=a\ }$
		1.Faktor mal 2.Faktor gleich Produkt		Dividend durch Divisor gleich Quotient
.	3.Stufe	Potenzieren		Radizieren (Wurzelziehen)
		${\displaystyle 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=3^{4}=81}$	${\displaystyle \underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot ...} }$ b gleiche Faktoren ${\displaystyle =a^{b}=c\ }$	${\displaystyle {\sqrt[{4}]{81}}=3}$	${\displaystyle {\sqrt[{b}]{c}}=a}$
		Basis a hoch Exponent b gleich Potenzwert c		b-te Wurzel aus dem Radikanden c gleich Wurzelwert a (b: Wurzelexponent)
				Logarithmieren
				${\displaystyle \log _{3}81=4\ }$	${\displaystyle \log _{a}c=b\ }$
				Logarithmus vom Logarithmanden c zur Basis a gleich Logarithmuswert b

Die vier Grundrechenarten mit natürlichen Zahlen

Summand* + Summand* = Summe
     3  +  4      =   7

Minuend - Subtrahend = Differenz
    8   -    2       =   6

Faktor* x Faktor* = Produkt
  8    x   8    =  64