Die Funktion ${\displaystyle \pi \cot \pi z\,}$ besitzt zum einen die Partialbruchentwicklung ${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{n+z}}}$, zum anderen lässt sie sich schreiben als

${\displaystyle i\pi \,{\frac {e^{i\pi z}+e^{-i\pi z}}{e^{i\pi z}-e^{-i\pi z}}}=i\pi \,{\frac {q+1}{q-1}}=i\pi \left(1+{\frac {2}{q-1}}\right)=i\pi -2\pi i\,{\frac {1}{1-q}}=i\pi -2\pi i\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}}$.

Also ist ${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{n+z}}=i\pi -2\pi i\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}}$.

Differenziert man ${\displaystyle k\,}$ mal nach ${\displaystyle z\,}$, so ist

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{k}\,k!}{(n+z)^{k+1}}}=-2\pi i\sum _{n=1}^{\infty }(2\pi in)^{k}\,q^{n}\Rightarrow \sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{(n+z)^{k+1}}}={\frac {(-2\pi i)^{k+1}}{k!}}\sum _{n=1}^{\infty }n^{k}q^{n}}$.

Ersetzt man ${\displaystyle k\,}$ durch ${\displaystyle 2k-1\,}$ und ${\displaystyle z\,}$ durch ${\displaystyle mz\,}$, so ist ${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{(mz+n)^{2k}}}={\frac {(-1)^{k}\,(2\pi )^{2k}}{(2k-1)!}}\sum _{n=1}^{\infty }n^{2k-1}\,q^{nm}}$.

Nun ist ${\displaystyle {\sum _{n,m\in \mathbb {Z} }}'{\frac {1}{(mz+n)^{2k}}}=\sum _{n>0}{\frac {1}{(0\cdot z+n)^{2k}}}+\sum _{n<0}{\frac {1}{(0\cdot z+n)^{2k}}}+\sum _{m>0}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{(mz+n)^{2k}}}+\sum _{m<0}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{(mz+n)^{2k}}}}$

${\displaystyle =2\zeta (2k)+2\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{(mz+n)^{2k}}}}$. Also ist ${\displaystyle {\frac {1}{2\zeta (2k)}}\,{\sum _{n,m\in \mathbb {Z} }}'{\frac {1}{(mz+n)^{2k}}}=1+{\frac {(-1)^{k}\,(2\pi )^{2k}}{(2k-1)!\,\zeta (2k)}}\,\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }n^{2k-1}\,q^{nm}}$.

Dabei ist ${\displaystyle {\frac {(-1)^{k}\,(2\pi )^{2k}}{(2k-1)!\,\zeta (2k)}}={\frac {2}{\zeta (1-2k)}}=-{\frac {4k}{B_{2k}}}}$

und ${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }n^{2k-1}\,q^{nm}}$ lässt sich umordnen zu ${\displaystyle \sum _{N=1}^{\infty }\sum _{d|N}d^{2k-1}\,q^{N}=\sum _{N=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(N)\,q^{N}}$.