Es ist ${\displaystyle (1+z)^{\alpha }=e^{\alpha \log(1+z)}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{k}}{k!}}\,{\Big [}\log(1+z){\Big ]}^{k}}$.

Wegen ${\displaystyle \log(1+z)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-{\frac {z^{4}}{4}}+...}$

hat die Reihenentwicklung von ${\displaystyle {\Big [}\log(1+z){\Big ]}^{k}}$ die Form ${\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }c_{nk}z^{n}}$ mit ${\displaystyle c_{kk}=1\,}$.

Somit ist ${\displaystyle (1+z)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{k}}{k!}}\,\sum _{n=k}^{\infty }c_{nk}\,z^{n}}$, was nach Umordnung gleich ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\,\sum _{k=0}^{n}c_{nk}{\frac {\alpha ^{k}}{k!}}\;z^{n}}$ ist.

Das Polynom ${\displaystyle Q_{n}(\alpha )=\sum _{k=0}^{n}c_{nk}{\frac {\alpha ^{k}}{k!}}}$ besitzt wegen ${\displaystyle c_{nn}=1\,}$ den führenden Koeffizient ${\displaystyle {\frac {1}{n!}}}$.

Da die Reihenentwicklung ${\displaystyle (1+z)^{m}=\sum _{n=0}^{\infty }Q_{n}(m)\,z^{n}}$

für alle natürlichen Zahlen ${\displaystyle m\,}$ abbricht, ist ${\displaystyle Q_{n}(m)=0\,}$ für alle ${\displaystyle n>m\,}$.

Daher besitzt das Polynom ${\displaystyle Q_{n}(\alpha )\,}$ die Linearfaktorzerlegung ${\displaystyle {\frac {1}{n!}}\,\alpha \,(\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)={\alpha \choose n}}$.