Formelsammlung Mathematik: Topologie: Grundbegriffe

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Topologischer Raum

Definition. Topologie, topologischer Raum, offene Menge, abgeschlossene Menge.

Eine Teilmenge $T$ der Potenzmenge von $X$ heißt Topologie, wenn folgende drei Axiome erfüllt sind:

$\{\}\in T$ und $X\in T$ ,
$A,B\in T\implies A\cap B\in T$ ,
$\forall i{\in }I\,[A_{i}\in T]\implies \bigcup _{i\in I}A_{i}\in T$ .

Das Paar $(X,T)$ heißt topologischer Raum.

Ein Element von $T$ heißt offene Menge.

Eine Menge $A\subseteq X$ heißt abgeschlossen, wenn $X\setminus A$ offen ist.

Umgebungen

Definition. Offene Umgebung, Umgebung, Umgebungsfilter.

Ist $x\in O$ und $O$ eine offene Menge, so wird $O$ als offene Umgebung von $x$ bezeichnet.

Umgebungsfilter:

{\mathcal {U}}(x):=\{U\subseteq X\mid \exists O{\in }T\,[x\in O\land O\subseteq U]\}.

Ein Element von ${\mathcal {U}}(x)$ wird Umgebung von $x$ genannt.

Definition. Offener Kern, innerer Punkt.

Offener Kern:

\operatorname {int} (M):=\{x\in M\mid M\in {\mathfrak {U}}(x)\}.

Ein Element von $\operatorname {int} (M)$ wird innerer Punkt von $M$ genannt.

Definition. Äußeres, äußerer Punkt.

Äußeres:

\operatorname {ext} (M):=\operatorname {int} (X\setminus M).

Ein Element von $\operatorname {ext} (M)$ heißt äußerer Punkt von $M$ .

Definition. Abschluss.

Abgeschlossene Hülle, kurz Abschluss:

{\overline {M}}:=X\setminus \operatorname {ext} (M).

Definition. Rand. Randpunkt.

Rand:

\partial (M):=X\setminus (\operatorname {int} (M)\cup \operatorname {ext} (M)).

Ein Element von $\partial (M)$ heißt Randpunkt von $M$ .

Es gilt die disjunkte Zerlegung:

X=\operatorname {int} (M)\cup \partial (M)\cup \operatorname {ext} (M).

Konstruktionen

Topologische Summe

Seien $(X_{i},T_{i})$ topologische Räume. Sei

X:=\bigsqcup _{i\in I}X_{i}:=\bigcup _{i\in I}\,\{(i,x)\mid x\in X_{i}\}.

Sei in Analogie zur Inklusionsabbdildung

\iota _{i}(x):=(i,x),\;\iota _{i}\colon X_{i}\to X.

Definition. Topologische Summe.

Die topologische Summe ist der topologische Raum $(X,T)$ mit der Topologie

T=\{U\subseteq X\mid \forall i{\in }I\,[\iota _{i}^{-1}(U)\in T_{i}]\},

bzw.

T=\{\bigsqcup _{i\in I}A_{i}\mid \forall i{\in }I\,[A_{i}\in T_{i}]\}.

Beachte:

\iota _{k}^{-1}(\bigsqcup _{i\in I}A_{i})=A_{k}.

Bemerkung.

Sind die $X_{i}$ schon disjunkt, so braucht man sie nicht unbedingt künstlich disjunkt machen und definiert

T=\{U\subseteq \bigcup _{i\in I}X_{i}\mid \forall i{\in }I\,[X_{i}\cap U\in T_{i}]\}.

Man kann eine solche Situation durch die Substitution $X_{i}:=X_{i}'$ mit

X_{i}':=\iota _{i}(X_{i})=\{i\}\times X_{i}

herbeiführen.

Stetige Abbildungen

Definition. Stetige Abbildung.

Sind $(X,T)$ und $(X',T')$ zwei topologische Räume, so bezeichnet man $f\colon X\to X'$ als stetig, wenn gilt:

\forall U\in T'\,[f^{-1}(U)\in T].

Definition. Homöomorphismus.

Ist $f$ eine stetige Bijektion und auch $f^{-1}$ stetig, so nennt man $f$ einen Homöomorphismus. Die Äquivalenzrelation

X\simeq Y\;:\Longleftrightarrow \;

es gibt einen Homöomorphismus zwischen

X

und

Y

heißt Homöomorphie.

Basis

Definition. Topologische Basis.

Sei $(X,T)$ ein topologischer Raum. Eine Menge $B\subseteq T$ heißt Basis, wenn gilt:

\forall O\in T\colon \;O=\bigcup _{M\in B}M.

In Worten: Jede offene Menge ist eine Vereinigung von Mengen aus der Basis.

Metrische Räume

Definition

Definition. Metrik, metrischer Raum.

Sei $X$ eine beliebige Menge. Eine Funktion $d\colon X\times X\to \mathbb {R}$ heißt Metrik, wenn folgende Axiome für alle $x,y,z$ erfüllt sind:

(M1) Identität ununterscheidbarer Elemente:

d(x,y)=0\iff x=y.

(M2) Symmetrie:

d(x,y)=d(y,x).

(M3) Dreiecksungleichung:

d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y).

Man nennt $(X,d)$ einen metrischen Raum.

Eigenschaften

Die Metrik ist nicht-negativ:

d(x,y)\geq 0.

In jedem metrischen Raum gilt die umgekehrte Dreiecksungleichung

|d(x,z)-d(z,y)|\leq d(x,y).

Definition. r-Umgebung.

Für jeden Punkt $x\in X$ und jeden Radius $r>0$ sei

U_{r}(x):=\{y\in X\mid d(x,y)<r\}

die (offene) $r$ -Umgebung und

U_{r}[x]:=\{y\in X\mid d(x,y)\leq r\}

die abgeschlossene $r$ -Umgebung von $x$ .

Jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum.

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