Einbettung

Betrachte eine n-dimensionale riemannsche oder pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit ${\displaystyle (M,g)}$, eingebettet in den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$.

Sei ${\displaystyle \varphi }$ eine lokale Karte

${\displaystyle \varphi \colon {\tilde {U}}\to U,\quad {\tilde {U}}\subseteq \mathbb {R} ^{n},\quad U\subseteq M\subseteq \mathbb {R} ^{m}.}$

Sei ${\displaystyle (\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{m})}$ die kanonische Basis des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$.

Basis von ${\displaystyle T_{p}M}$	Duale Basis
${\displaystyle \mathbf {g} _{i}(u)=(\partial _{i}\varphi )(u)={\frac {\partial \varphi }{\partial u^{i}}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {\partial \varphi ^{k}}{\partial u^{i}}}\mathbf {e} _{k}}$ wobei ${\displaystyle p=\varphi (u)}$	${\displaystyle \mathbf {g} ^{i}=\sum _{j=1}^{n}g^{ij}\mathbf {g} _{j}=\sum _{k=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial \varphi ^{k}}{\partial u^{j}}}\mathbf {e} _{k}}$

Jacobi-Matrix:

${\displaystyle J=(D\varphi )(u),\quad J_{ij}={\frac {\partial \varphi ^{i}}{\partial u^{j}}},\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n.}$

Induzierter metrischer Tensor:

${\displaystyle g=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}\,\mathbf {g} ^{i}\otimes \mathbf {g} ^{j},}$

${\displaystyle (g_{ij})=J^{T}J,}$

${\displaystyle (g^{ij})=(g_{ij})^{-1}.}$

Kovariante Ableitung

Vektorfeld	Kovektorfeld
${\displaystyle v=\sum _{k}v^{k}\mathbf {g} _{k}}$	${\displaystyle v=\sum _{k}v_{k}\mathbf {g} ^{k}}$
${\displaystyle \nabla _{i}v=\sum _{k}(\nabla _{i}v)^{k}\mathbf {g} _{k}}$	${\displaystyle \nabla _{i}v=\sum _{k}(\nabla _{i}v)_{k}\mathbf {g} ^{k}}$
${\displaystyle (\nabla _{i}v)^{k}=\partial _{i}v^{k}+\sum _{j}\Gamma _{ij}^{k}v^{j}}$	${\displaystyle (\nabla _{i}v)_{k}=\partial _{i}v_{k}-\sum _{j}\Gamma _{ik}^{j}v_{j}}$
${\displaystyle \nabla _{i}\mathbf {g} _{j}=\sum _{k}\Gamma _{ij}^{k}\mathbf {g} _{k}}$	${\displaystyle \nabla _{i}\mathbf {g} ^{k}=-\sum _{j}\Gamma _{ij}^{k}\mathbf {g} ^{j}}$
${\displaystyle \nabla _{w}\mathbf {g} _{j}=\sum _{k,i}\Gamma _{ij}^{k}w^{i}\mathbf {g} _{k}}$
${\displaystyle \nabla _{w}v=\sum _{k}(\nabla _{w}v)^{k}\mathbf {g} _{k}}$	${\displaystyle \nabla _{w}v=\sum _{k}(\nabla _{w}v)_{k}\mathbf {g} ^{k}}$
${\displaystyle (\nabla _{w}v)^{k}=D_{w}v^{k}+\sum _{i,j}\Gamma _{ij}^{k}w^{i}v^{j}}$
${\displaystyle (\nabla _{w}v)^{k}=\sum _{i}(\nabla _{i}v)^{k}w^{i}}$

Christoffel-Symbole

Christoffelsymbole bezüglich einer lokalen Karte:

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}=\langle \mathbf {g} ^{k},\nabla _{i}\mathbf {g} _{j}\rangle =-\langle \mathbf {g} _{i},\nabla _{j}\mathbf {g} ^{k}\rangle .}$

Christoffelsymbole in Abhängigkeit des metrischen oder pseudo-metrischen Tensors:

${\displaystyle \Gamma _{ab}^{d}={\frac {1}{2}}\sum _{c}g^{dc}(\partial _{a}g_{bc}+\partial _{b}g_{ac}-\partial _{c}g_{ab}),}$

${\displaystyle \Gamma _{cab}={\frac {1}{2}}(\partial _{a}g_{bc}+\partial _{b}g_{ac}-\partial _{c}g_{ab}),}$

${\displaystyle \partial _{a}g_{bc}=\Gamma _{bac}+\Gamma _{cab},}$

${\displaystyle \Gamma _{ab}^{d}=\Gamma _{ba}^{d},\quad \Gamma _{cab}=\Gamma _{cba}.}$

Musikalische Isomorphismen

Für eine Koordinatendarstellung wird eine Basis von ${\displaystyle T_{p}M}$ jeweils für jeden Punkt p benötigt. Sei dazu ${\displaystyle (\mathbf {g} _{k})_{k=1}^{n}}$ ein lokaler Rahmen und ${\displaystyle (\mathbf {g} ^{k})_{k=1}^{n}}$ der dazu gehörige Korahmen. Die Metrik g wird als metrischer Tensor bezüglich des Korahmens dargestellt:

${\displaystyle g(p)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}(p)\,\mathbf {g} ^{i}(p)\otimes \mathbf {g} ^{j}(p),}$

kurz

${\displaystyle g=g_{ij}\,\mathbf {g} ^{i}\otimes \mathbf {g} ^{j}.}$

Eine äquivalente Definition ist nun

${\displaystyle X^{\flat }={\Big (}\sum _{k=1}^{n}X^{k}\mathbf {g} _{k}{\Big )}^{\flat }:=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}X^{i}\mathbf {g} ^{j}}$

und

${\displaystyle \omega ^{\sharp }={\Big (}\sum _{k=1}^{n}\omega _{k}\mathbf {g} ^{k}{\Big )}^{\sharp }:=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g^{ij}\omega _{i}\mathbf {g} _{j},}$

wobei die Gleichungen punktweise für Punkte p ∈ M gelten.

Eigenschaften

Bei ${\displaystyle \Phi }$ handelt es sich für jeden Punkt p um eine bijektive lineare Abbildung. Es gilt also:

1. ${\displaystyle (v+w)^{\flat }=v^{\flat }+w^{\flat },}$
2. ${\displaystyle (\lambda v)^{\flat }=\lambda v^{\flat },}$
3. ${\displaystyle (\psi +\omega )^{\sharp }=\psi ^{\sharp }+\omega ^{\sharp },}$
4. ${\displaystyle (\lambda \omega )^{\sharp }=\lambda \omega ^{\sharp },}$
5. ${\displaystyle (v^{\flat })^{\sharp }=v,}$
6. ${\displaystyle (\omega ^{\sharp })^{\flat }=\omega .}$

Außerdem gilt:

1. ${\displaystyle (v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n})^{\flat }:=v_{1}^{\flat }\wedge \ldots \wedge v_{n}^{\flat },}$
2. ${\displaystyle (\omega _{1}\wedge \ldots \wedge \omega _{n})^{\sharp }:=\omega _{1}^{\sharp }\wedge \ldots \wedge \omega _{n}^{\sharp }.}$