Standardform

Definition. Eine Funktion der Form

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$

mit ${\displaystyle a\neq 0}$ heißt quadratische Funktion.

Scheitelpunktform

Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist

${\displaystyle f(x)=a\cdot (x-x_{s})^{2}+y_{s},}$

wobei es sich bei ${\displaystyle S=(x_{s}|y_{s})}$ um den Scheitelpunkt handelt.

Die Scheitelpunktform kann durch Ausmultiplizieren und einen Koeffizientenvergleich in die Standardform umgeformt werden. Es ergibt sich:

${\displaystyle b=-2ax_{s},}$

${\displaystyle c=ax_{s}^{2}+y_{s}.}$

Umgekehrt ist:

${\displaystyle x_{s}=-{\frac {b}{2a}},}$

${\displaystyle y_{s}=c-ax_{s}^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4a}}.}$

Bei ${\displaystyle x_{s}}$ handelt es sich um den arithmetischen Mittelwert der beiden Nullstellen:

${\displaystyle x_{s}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}.}$

Parabel und Gerade

Gegeben ist

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,}$

${\displaystyle g(x)=mx+n}$

mit ${\displaystyle a\neq 0}$.

Aufgabe: Bestimme

${\displaystyle L=\{x\mid f(x)=g(x)\}.}$

Lösung: Äquivalenzumformung führt auf die quadratische Gleichung

${\displaystyle 0=ax^{2}+(b-m)+c-n.}$

Berechnet wird die Diskriminante:

${\displaystyle D=(b-m)^{2}-4(c-n)a.}$

Ungestauchte Parabel durch zwei Punkte

Aufgabe: Der Graph der Funktion ${\displaystyle f(x)=x^{2}+px+q}$ soll durch die Punkte ${\displaystyle (x_{1}|y_{1})}$ und ${\displaystyle (x_{2}|y_{2})}$ verlaufen.

Ansatz: Es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem für ${\displaystyle p,q}$:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1}p+q=y_{1}-x_{1}^{2}\\x_{2}p+q=y_{2}-x_{2}^{2}\end{vmatrix}}.}$

Die Lösungen sind:

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {(y_{2}-y_{1})-(x_{2}^{2}-x_{1}^{2})}{x_{2}-x_{1}}},\\q&={\frac {(y_{1}-x_{1}^{2})\,x_{2}-(y_{2}-x_{2}^{2})\,x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.\end{aligned}}}$

Parabel durch drei Punkte

Aufgabe: Der Graph der Funktion ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ soll durch die Punkte ${\displaystyle (x_{1}|y_{1}),(x_{2}|y_{2})}$ und ${\displaystyle (x_{3}|y_{3})}$ verlaufen.

Ansatz: Es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem für ${\displaystyle a,b,c}$:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1}^{2}a+x_{1}b+c=y_{1}\\x_{2}^{2}a+x_{2}b+c=y_{2}\\x_{3}^{2}a+x_{3}b+c=y_{3}\end{vmatrix}}.}$

Alternative Lösung: Berechnet wird zunächst

${\displaystyle f(x)=a_{2}\cdot (x-x_{1})(x-x_{2})+a_{1}\cdot (x-x_{1})+y_{1}}$

mit

${\displaystyle a_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$

und

${\displaystyle a_{2}={\frac {1}{x_{3}-x_{2}}}\left({\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-a_{1}\right).}$

Ausmultiplizieren und ein Koeffizientenvergleich bringt die Lösung. Es ergibt sich:

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=a_{2},\\b&=a_{1}-a_{2}\cdot (x_{1}+x_{2}),\\c&=y_{1}-a_{1}x_{1}+a_{2}x_{1}x_{2}.\end{aligned}}}$